Likformighet + längdskala och areaskala

Trianglarna CDE, CFG och CAB är alla likformiga.

Om triangel ADE har arean $x$ så har triangel AFD enligt uppgiften arean $2x$ och triangel CAB arean $3x$.

Förhållandet mellan areorna av trianglarna CAB och CFG är därför $\frac{3x}{2x}=\frac{3}{2}$

Eftersom areaskalan = (längdskalan)² så är förhållandet mellan |CA| och |CF| därför $\sqrt{\frac{3}{2}}$

Kommer du vidare längs med det spåret?

Hur vet man att det är just förhållandet mellan dessa sidor? Alltså när man får fram längdskala, vad är det egentligen man får? Förstår inte riktigt det.

De vill att du ska visa att kvoten $K=\frac{|FA|}{|CD|}$ är lika med $\sqrt{3}-\sqrt{2}$.

Med hjälp av de tips du fick I mitt första svar kan du ta reda på hur stor $K$ är.

Typ så här:

Börja med att skriva $|FA|=|CA|-|CF|$

Då blir $K=\frac{|CA|-|CF|}{|CD|}$

Om vi kallar de tre trianglarnas areor $A_{CAB}=3x$, $A_{CFG}=2x$ och $A_{CDE}=x$ så har vi att

• $\frac{A_{CFG}}{A_{CDE}}=\frac{2x}{x}=2$
• $\frac{A_{CAB}}{A_{CFG}}=\frac{3x}{2x}=\frac{3}{2}$

Eftersom de tre trianglarna är likformiga så gäller det som står i uppgiften om likformiga månghörningar, nämligen att $\frac{A_{CFG}}{A_{CDE}}=(\frac{|CF|}{|CD|})^2$ och att $\frac{A_{CAB}}{A_{CFG}}/(\frac{|CA|}{|CF|})^2$

Det ger dig att $\frac{|CF|}{|CD}=\sqrt{2}$ och att $\frac{|CA|}{|CF|}=\sqrt{\frac{3}{2}}$

Sätt nu in detta i formeln för $K$ och förenkla.