Likformighet

"Ett glas har formen av en uppochnedvänd kon med höjden 6 cm. Öppningens diameter är 4 cm. Hur högt ska man fylla glaset för att det ska bli halvfullt?"

Jag tänker såhär:

Volymen i det helfyllda glaset är $8 π$ $c m^{3}$ och därför borde ett halvfullt glas vara 4 $c m^{3}$ .

Likformighet ger $\frac{6}{4} = \frac{a}{b} \Rightarrow a = \frac{3 b}{2}$

Likformighet ger $\frac{4}{6} = \frac{b}{a} \Rightarrow \frac{4 a}{6} \Rightarrow b$

$V_{k o n} = \frac{π \times r^{2} \times h}{3}$

$V_{k o n} = \frac{π {(\frac{3 b}{2})}^{2} \times b}{3} = 4 π \Rightarrow 9 b^{3} = 48 \Rightarrow b \approx 2, 20$

Höjden borde då bli $2, 20 \times \frac{3}{2} \approx 3, 3$

Kan någon se var jag gör fel för någonstans? Svaret ska bli $\approx$ 4,76

Flyttade tråden från Matematik/Universitet till Ma2. Egentligen hade jag kunat flytta den till Ma/åk9 eftersom både formeln för volymskala och formeln för konens volym finns med på formelbladet till nationellaprovet i matematik åk 9. /Smaragdalena, moderator

Om du jämför din formel med instoppade b med den för volymen på raden över så ser du att du har fått radien till 3/2 gånger höjden. Det borde väl vara en tredjedel?

$volymskalan=(langdskalan)^3$

Höjd vid halvfylld kon: $u=a\cdot 6$

Formeln överst ger: $a^3=\frac{1}{2}\Rightarrow$

$\displaystyle a=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$

Sökt höjd:

$\displaystyle u=a\cdot 6=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\cdot 6\approx 4,76$ cm.

Antag att "lilla konens" radie resp. höjd är r resp. h.

Likformighet: $\frac{r}{2} = \frac{h}{6}$ . Som sagts tidigare är halva volymen $4 π {cm}^{3}$ .

Bestäm alltså h, så att $\frac{π r^{2} h}{3} = 4 π$ . Ur likformigheten får vi att $r = \frac{h}{3}$ , varav $h^{3} = 108$ , och $h = 3 \times \sqrt[3]{4} c m$ , vilket överensstämmer med det svar du angav.

Micimacko skrev:
Om du jämför din formel med instoppade b med den för volymen på raden över så ser du att du har fått radien till 3/2 gånger höjden. Det borde väl vara en tredjedel?

Skulle du kunna förklara hur du får radien till en tredjedel?

dr_lund skrev:
Antag att "lilla konens" radie resp. höjd är r resp. h.
Likformighet: $\frac{r}{2} = \frac{h}{6}$ . Som sagts tidigare är halva volymen $4 π {cm}^{3}$ .
Bestäm alltså h, så att $\frac{π r^{2} h}{3} = 4 π$ . Ur likformigheten får vi att $r = \frac{h}{3}$ , varav $h^{3} = 108$ , och $h = 3 \times \sqrt[3]{4} c m$ , vilket överensstämmer med det svar du angav.

Tack! Men bara så jag förstår, om man gör på mitt sätt istället dvs. $\frac{h}{r} = \frac{6}{2} \Rightarrow h = 3 r$ , alltså att man får ett uttryck för h istället, blir det inte samma svar enligt mina beräkningar: $\frac{{πr}^{2} h}{3} \Rightarrow \frac{{πr}^{2} 3 r}{3} = 4 π \Rightarrow r = \sqrt[3]{4}$ . Är det någon som kan förklara varför detta blir fel? (Bara för att jag ska förstå hur jag ska tänka i framtiden)

abcdefg skrev:
Micimacko skrev:
Om du jämför din formel med instoppade b med den för volymen på raden över så ser du att du har fått radien till 3/2 gånger höjden. Det borde väl vara en tredjedel?
Skulle du kunna förklara hur du får radien till en tredjedel?

Det står i uppgiften att konens höjd är 6 cm . Diametern 4 cm, alltså är radien 2 cm. 2/6=1/3.

Glöm min senaste fråga, förstår nu. Tack för alla svar :)

Svara

Visa senaste svar