Likformig konvergens
Hej! Jag förstår inte riktigt varför punktvis konvergens inte medför likformig konvergens utifrån definitionerna nedan. Enligt min förståelse:
Punktvis konvergens => Givet ett godtyckligt epsilon och x så går det att finna ett fixt N så att för alla n > N så gäller olikheten.
Likformig konvergens => Givet ett godtyckligt epsilon så går det att finna ett fixt N så att för alla n > N och för alla x så gäller olikheten.
Om N bara väljs utefter ”det värsta x:et” som ändå uppfyller punktvis konvergens så bör väl alla n>N också uppfylla likformig konvergens?
Nedan följer mina definitioner. Vad är det jag missar?
Hej,
Ge ett exempel på en punktvis konvergent funktionsserie som ej är likformigt konvergent. Rita bilder över funktionernas grafer för att se vad som händer med funktionerna när du går i gräns.
Ge också exempel på punktvis konvergent funktionsserie och på likformigt konvergent funktionsserie. Rita bilder!
Om det finns ett tillräckligt stort N för att funka med alla x så har man både likformig och punktvis konvergens. Men ibland finns inte det. Tex om du har funktionerna 1/(n*x) på ]0,1[. Det går mot funktionen y=0.
För varje n du bestämmer så kan man hitta ett tillräckligt litet x för att det ändå ska bli jättestort. Men om du istället får välja x först så kan du öka n så mkt du behöver för att få det jättelitet. Så den följden konvergerar bara punktvis.
Likformig konvergens är starkare, så i det fallet har du alltid båda. Men i exemplet här hade n behövt vara oändligt för att få med alla x, och det går ju inte.
