5 svar
189 visningar
Le oeuf du canard behöver inte mer hjälp
Le oeuf du canard 19 – Fd. Medlem
Postad: 22 okt 2017 19:18

Likformig kontinuitet

Hej! 

Jag har ett problem med ett problem gällande likformig kontinuitet.

Antag att f är definierad och kontinuerlig på hela R. Antag att limx→−∞ f(x) och
limx→+∞ f(x) existerar. Bevisa att f är likformigt kontinuerlig.

Jag har funderat om man kan använda Heines sats för att lösa probelemet?

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 22 okt 2017 19:30

Om du vet att limxf(x)=M \lim_{x\rightarrow\infty}f(x) = M och limx-f(x)=m \lim_{x\rightarrow -\infty} f(x) = m .

För att ge ungefärlig idé på vad du ska tänka på.

Givet ett ϵ \epsilon så kan du finna ett N sådant att då

x>N x > N så gäller det att |f(x)-M|<ϵ/2 |f(x) - M| < \epsilon/2 samt att

x<-N x < -N så gäller det att |f(x)-m|<ϵ/2 |f(x) - m| < \epsilon/2 .

Intervallet [-N,N] [-N, N] är kompakt, så här kan du använda Heines-Cantor sats.

Kan du sätta ihop dessa fall så att du kan visa att den är likformigt kontinuerlig över hela \mathbb{R} ?

Le oeuf du canard 19 – Fd. Medlem
Postad: 22 okt 2017 20:12

ε>0δ>0x1,x2Df:x1-x2<δ=>f(x1)-f(x2)ε

I princip antar jag att funktionen inte är likformigt kontinuerlig, läger delta som 1/n och sedan använder jag Bolzano-Weierstrass sats för att visa att både X1 och X2 har gränsvärdet X0 genom att ge delföljden av X1 X1kn och av X2 X2kn

x2kn-x0=x2kn-x1kn+x1kn+x0x2knx1kn+x1kn-x0

Utrycket går mot 0 då n-> oändligheten

Då kan jag konstatera att f(x1kn)-f(x0)<ε2f(x2kn)-f(x0)<ε2

 Om jag adderar ihop dessa två får jag att f(x1kn)-f(x2kn) är mindre än epsilon vilket är en motsägelse...

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 22 okt 2017 20:24 Redigerad: 22 okt 2017 20:25

Jag förstår inte riktigt hur du har resonerat, men jag är ganska säker på att det inte stämmer. Ditt antagande är inte negeringen av likformigt kontinuerlig, så att visa att ditt antagande leder till en motsägelse kommer inte visa att den är likformigt kontinuerlig. (Ditt antagande kan inte gälla för någon funktion eftersom du exempelvis tillåter att x1=x2 x_1 = x_2 vilket då säger att du vill att valen ska implicera att 0ϵ 0 \ge \epsilon ).

Le oeuf du canard 19 – Fd. Medlem
Postad: 22 okt 2017 20:52

Oj, första formeln skall vara

ε>0δ>0x1,x2I=[-N,N]:x1-x2<δ->f(x1)-f(x2)ε

Jag fortsätter med

 

x1n-x2n<δLägger δ=1nx1nI x0I:limnx1kn=x0->limnx2kn=x0x2kn-x0=x2kn-x1kn+x1kn+x0x2kn-x1kn+x1kn-x0->0eftersom x2kn-x1kn1kn<1n eftersom det finns ett n>P (begränsad mängd, det existerar ett supremum och ett infimum)=>f(x2kn)-f(x0)<ε2+f(x1kn)-f(x0)<ε2_________________________                                   <ε

Hoppas dethär ger lite mer insikt i min tankegång

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 22 okt 2017 21:03

Fast alltså det där fungerar inte alls, jag vet inte vad första formeln ska vara till? (Som sagt, det är inte en negeringen av påståendet att f är likformigt kontinuerlig på intervallet [-N, N], vilket gör att ett motsägelse bevis visar ingenting)

 

Utan notera att givet ett ϵ>0 \epsilon > 0 så vet du utifrån antagandena för f att det existerar ett N1 N_1 och N2 N_2 sådant att

x>N1|f(x)-M|<ϵ/2 x > N_1 \Rightarrow |f(x) - M| < \epsilon/2

samt att

x<N2|f(x)-m|<ϵ/2 x < N_2 \Rightarrow |f(x) - m| < \epsilon/2

Låt nu N=max{N1,-N2} N = max\lbrace N_1, -N_2\rbrace . Vi vet att enligt Heine-Cantors sats att f är likformigt kontinuerlig på intervallet [-N-1,N+1] [-N - 1, N + 1] . Så vi vet att på detta intervall så existerar det ett δ1 \delta_1 sådant att då x1,x2[-N-1,N+1] x_1, x_2 \in [-N - 1, N + 1] så innebär

|x1-x2|<δ1|f(x1)-f(x2)|<ϵ |x_1 - x_2| < \delta_1 \Rightarrow |f(x_1) - f(x_2)| < \epsilon

Så vi låter δ=min{δ1,1} \delta = min\lbrace \delta_1, 1\rbrace , kan du nu visa att detta δ \delta även fungerar då x1,x2 x_1, x_2 ligger utanför intervallet [-N,N] [-N, N] ?

Svara
Close