Likelihood funktion för en Borel fördelning

Hej,

Jag skulle behöva hjälp med att finna likelihood funktionen samt log-likelihood funktionen för en Borel distribution. Jag vet hur man gör detta men är osäker på reglerna så uppskattar all hjälp. Fördelningen Borel är följande $P(X_i = x;\beta)=\frac{1}{x!}(\beta x)^{x-1} \cdot exp(-\beta x)$ .

Likelihood funktionen som jag får fram är $L(\beta)= (\frac{1}{x_i!})^n exp(n\beta\sum_{i=1}^n x_i) \prod_{i=1}^n (\beta x_i)^{x_i-1} =\frac{1}{\prod_{i=1}^n x_i}exp(-\beta\sum_{i=1}^n x_i) \prod_{i=1} (\beta x_i)^{x_i-1}$ .

Men är det som jag har gjort korrekt och kan jag göra ytterligare förändringar för att enklare få fram log-likelihooden? Om jag tar fram denna nu får jag att

$l(\beta)=log(L(\beta))=log(\frac{1}{\sum_{i=1}^n x_i})-\beta \sum_{i=1}^n x_i + \sum_{i=1}^n(x_i-1) log(\sum_{i=1}^n(\beta x_i))$

Men det sista känns inte helt rätt.

Tack på förhand!

Vad är det likelihood för? Det ser jättekonstigt ut när du låter produkten indexeras av x. Givet observationer x_1,x_1...,x_n borde det bli:

$L (β) = \prod_{k = 1}^{n} \frac{1}{x_{k}!} e x p (- β x_{k}) = \frac{1}{\prod_{k = 1}^{n} x_{k}!} e x p (- β \sum_{k = 1}^{n} x_{k})$

Smutsmunnen skrev:
Vad är det likelihood för? Det ser jättekonstigt ut när du låter produkten indexeras av x. Givet observationer x_1,x_1...,x_n borde det bli:

$L (β) = \prod_{k = 1}^{n} \frac{1}{x_{k}!} e x p (- β x_{k}) = \frac{1}{\prod_{k = 1}^{n} x_{k}!} e x p (- β \sum_{k = 1}^{n} x_{k})$

Hej, ja jag ser att jag råkade skriva lite tokigt så ska försöka att ordna det nu. Men vad händer med termen $(\beta x)^{x-1}$ i Borel fördelningen i din likelihood?

Aha jag glömde den termen!

Så

$L (β) = \prod_{k = 1}^{n} \frac{1}{x_{k}!} e x p (- β x_{k}) {(β x_{k})}^{x_{k} - 1} = β^{S - n} e x p (- β S) \prod_{k = 1}^{n} \frac{{x_{k}}^{x_{k} - 1}}{x_{k}!} = C \times β^{S - n} e x p (- β S)$

där S är summan av x_k och C är en konstant (oberoende av beta). Log-likelihood blir då:

$l (β) = K + (S - n) \ln β - β S$

där K är en konstant.

Svara

Visa senaste svar