3 svar
61 visningar
lund behöver inte mer hjälp
lund 529
Postad: 18 okt 2022 17:55 Redigerad: 18 okt 2022 18:26

Likelihood funktion för en Borel fördelning

Hej,

Jag skulle behöva hjälp med att finna likelihood funktionen samt log-likelihood funktionen för en Borel distribution. Jag vet hur man gör detta men är osäker på reglerna så uppskattar all hjälp. Fördelningen Borel är följande P(Xi=x;β)=1x!(βx)x-1·exp(-βx)P(X_i = x;\beta)=\frac{1}{x!}(\beta x)^{x-1} \cdot exp(-\beta x).

Likelihood funktionen som jag får fram är L(β)=(1xi!)nexp(nβi=1nxi)i=1n(βxi)xi-1=1i=1nxiexp(-βi=1nxi)i=1(βxi)xi-1L(\beta)= (\frac{1}{x_i!})^n exp(n\beta\sum_{i=1}^n x_i) \prod_{i=1}^n (\beta x_i)^{x_i-1} =\frac{1}{\prod_{i=1}^n x_i}exp(-\beta\sum_{i=1}^n x_i) \prod_{i=1} (\beta x_i)^{x_i-1}.

Men är det som jag har gjort korrekt och kan jag göra ytterligare förändringar för att enklare få fram log-likelihooden? Om jag tar fram denna nu får jag att 

l(β)=log(L(β))=log(1i=1nxi)-βi=1nxi+i=1n(xi-1)log(i=1n(βxi))l(\beta)=log(L(\beta))=log(\frac{1}{\sum_{i=1}^n x_i})-\beta \sum_{i=1}^n x_i + \sum_{i=1}^n(x_i-1) log(\sum_{i=1}^n(\beta x_i))

Men det sista känns inte helt rätt.

Tack på förhand!

Smutsmunnen Online 1048
Postad: 18 okt 2022 18:02 Redigerad: 18 okt 2022 18:03

Vad är det likelihood för? Det ser jättekonstigt ut när du låter produkten indexeras av x. Givet observationer x_1,x_1...,x_n borde det bli:

L(β)=k=1n1xk!exp(-βxk)=1k=1nxk!exp(-βk=1nxk)

lund 529
Postad: 18 okt 2022 18:11
Smutsmunnen skrev:

Vad är det likelihood för? Det ser jättekonstigt ut när du låter produkten indexeras av x. Givet observationer x_1,x_1...,x_n borde det bli:

L(β)=k=1n1xk!exp(-βxk)=1k=1nxk!exp(-βk=1nxk)

Hej, ja jag ser att jag råkade skriva lite tokigt så ska försöka att ordna det nu. Men vad händer med termen (βx)x-1(\beta x)^{x-1} i Borel fördelningen i din likelihood?

Smutsmunnen Online 1048
Postad: 18 okt 2022 19:36 Redigerad: 18 okt 2022 19:48

Aha jag glömde den termen!

L(β)=k=1n1xk! exp(-βxk)(βxk)xk-1=βS-nexp(-βS)k=1nxkxk-1xk!=C×βS-nexp(-βS)

där S är summan av x_k och C är en konstant (oberoende av beta). Log-likelihood blir då:

l(β)=K+(S-n)ln β -βS

där K är en konstant.

Svara
Close