Leibniz-notation, räkna med derivator och differentialekvation

I Ergo Fysik 2-boken finns följande förklaring:

Det är egentligen två grejer jag inte fattar här.

1. Jag antar att man kan räkna som jag gjort då jag skrivit men jag fattar inte varför man kan förenkla genom att flytta ned dt till nämnaren. För då är det som att d är en faktor och man kör lite vanlig bråkräkning. Varför kan man göra det? Står inte d för ändring? Har det nåt med kedjeregeln att göra eller nåt? Jag förstår egentligen inte hur man kan förenkla uttrycket som står till höger om det andra likhetstecknet.

2. Vad gäller differentialekvationen man sedan får fram, vad kallas en sådan differentialekvation och hur löser man en sån?

Kanske att jag fattar allt mer om jag får det i en annan notation typ v' och så vidare.

EDIT: Skulle man kunna skriva a = (x')' = andra derivatan av x?

Det är bara en notation för andraderivatan. Man kanske skall undvika att försöka tolka det på något annat sätt.

Visst du kan skriva det som (x’)’ = x’’ också. Ofta brukar man använda prickar i stället när det är derivering map t (tid).

v = $\frac{d x}{d t} = \dot{x}$ .

$a = \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = \ddot{x}$ .

Det är en ordinär andra ordningens linjär och homogen differentialekvation med konstanta koefficienter.

Varför skriver man dt^2 i nämnaren och inte d^2t ?

Acceleration mäts i m/s². Så man vill att det skall vara något som är en ”tid i kvadrat” i nämnaren. d²t skulle ses som en skillnad av en skillnad av en tid, vilket i någon mening är en tid och inte en tid i kvadrat.

Man kan se det som att deriveringsoperatorn ( med avseende på t) är $\frac{d}{dt}$ . Ibland skriver man den som D, så Dy är derivatan av y. D(Dy) är andraderivatan och den kan man skriva kompaktare som D²y.

Så gör man med $\frac{d}{dt}$ också. $\frac{d}{dt} y$ är derivatan. $\frac{d}{dt}\frac{d}{dt} y = \frac{d^2}{(dt)^2}y$ är andraderivatan.

Tack för era svar. Jag ska studera de noggrant. Angående differentialekvationen tog jag hjälp av https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/SecondOrderConcepts.aspx

m*x'' + kx = 0

x'' + (k/m)*x = 0

[a = k/m]

x'' + ax = 0

andraderivatan skall vara -a gånger funktionen. En funktion som går tillbaka till sig själv fast minus är sin(x).

x = sin(sqrt(a)*t)

x' = sqrt(a) * cos(sqrt(a)*t)

x'' = -a*sin(sqrt(a)*t)

Funkar. Så x = sin(sqrt(k/m)*t)

Det verkar faktiskt stämma med vad boken skriver sedan. Men himla krångligt. De verkar komma fram till SEDAN att w^2 = k/m. Men jag tycker man kommer fram till det före. Skall studera detta noggrannare.

Svara

Visa senaste svar