Latta hundar och lite dumma funderingar

Rita en halvcirkel med centrum i $(\pi/2,0)$ och radien 1. Ser du att den får plats innanför kurvan? Alltså har arean under kurvan större area än vad cirkeln har.

Hmm nej det borde se ut så här eftersom pi/2 är större än 1...  Tråkigt, förstår fortfarande inte relationen mellan cirkeln och sina sin och cos, det är som en väldigt komplex brasiliansk telenovela.

Du har ritat en "halvcirkel" med radie pi/2 med centrum i (pi/2, 0). 

Det bör finnas några bra filmer som illustrerar sambandet mellan enhetscirkeln och sinuskurvan. Ska se vad jag hittar. 

EDIT: titta här: 

http://www.analyzemath.com/unitcircle/unit_circle_applet.html

eller googla "unit circle sine curve" så finns en hel del filmer. 

Men om du vill ha $A = \pi r^2$ måste du väl mena att $A = \pi 1^2 = \pi$? Så radien är 1, inte $\pi$. Den halvcirkel du har skissat har radien $\pi/2$ och arean $A = \frac{\mathrm{\pi }({\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{2}}{)}^2}{2} = \frac{{\mathrm{\pi }}^3}{2^3} \approx 3,876$( för den halvan, så hela är nästan 8).

Här är en graf med jämförelse mot halvcirkeln.

Ett enkelt sätt att inse att sinuskurvans första halva period inte bildar en halvcirkel är följande:

Om det vore en halvcirkel så skulle tangentens lutning vid v = 0 vara oändlig, vilket innebär att derivatans värde vid v = 0 skulle vara plus oändligheten.

Men derivatan av sinus är cosinus och derivatans värde vid v = 0 är cos(0) = 1, vilket också syns på bilden tomast80 lade in.

Alltså är det ingen halvcirkel.

 Tack till alla för massor insats!

Jag har uttryckt mig väldigt dåligt igen ser jag. Först skriver jag ''Så borde inte en sinus kurva bilda en cirkel?'' och efter läggar jag till en hel del kosmetiska förändringar (''rundar ut'' ellipsen och göra så att dom kantiga kluvorna försvinner!) så att sin kurva blir rundare.

Så om en cirkeln area är lika med nästan 8 som Smaragdalena visade, och en sinus kurva integral är lika med 5, kan man säga att en sinus kurva integralen är lika med radien$*\frac{4*{\pi }^3}{8}$? Och vad är sambandet mellan radien och amplitud förresten?

Visste inte att en halv cirkeln ekvation skrevs $\sqrt{(\pi -x)x}$ :)

Daja skrev :

Så om en cirkeln area är lika med nästan 8 som Smaragdalena visade, och en sinus kurva integral är lika med 5, kan man säga att en sinus kurva integralen är lika med radien$*\frac{4*{\pi }^3}{8}$?

Vilken sinuskurva har integralen 5? Vilken radie?

Daja skrev :

Och vad är sambandet mellan radien och amplitud förresten?

Vilken radie? Vilken amplitud?

Yngve skrev :

Vilken sinuskurva har integralen 5? Vilken radie?

Vilken radie? Vilken amplitud?

Riktigt bra fråga, jag har en uppgift där jag måste klura ut talet b för 2 kurvor $x^2-b$ och $b-x^2$, och så länge kom jag bara fram till att det ser ut som en öga. Det måste vara samma underligande princip? Det är säkert en hel varv (4) och en 1 a.e till som borde väl vara 2pi/3?

För andra frågan jag menade, om vi vet amplituden, kan vi ta ut radien på tillhörande cirkeln?

Här är ett litet experiment du kan göra: Leta upp ett stearinljus (det måste vara cylindriskt, inte koniskt i formen) och en pappersremsa. Linda remsan några varv runt ljuset. Skär tvärs igenom både papper och ljus med en vass kniv. Låt något snitt bli vinkelrätt mot ljuset, och de andra bli mer eller mindre sneda. Rulla upp pappret och undersök de nygjorda sinuskurvorna. Titta på de avskurna stearinbitarna och beundra de snygga ovalerna (utom den som du skar av rakt, så att det blev en cirkel). Hoppas du också tycker det hänger ihop med din fråga i den här tråden!

Daja skrev :

Yngve skrev :

Vilken sinuskurva har integralen 5? Vilken radie?

Vilken radie? Vilken amplitud?

Riktigt bra fråga, jag har en uppgift där jag måste klura ut talet b för 2 kurvor $x^2-b$ och $b-x^2$, och så länge kom jag bara fram till att det ser ut som en öga. Det måste vara samma underligande princip? Det är säkert en hel varv (4) och en 1 a.e till som borde väl vara 2pi/3?

För andra frågan jag menade, om vi vet amplituden, kan vi ta ut radien på tillhörande cirkeln?

Jag förstår ändå inte vad du menar. Vad menar du med tillhörande cirkel?

Och hur lyder uppgiften där du ska klura ut b?

smaragdalena skrev :

Här är ett litet experiment du kan göra: Leta upp ett stearinljus (det måste vara cylindriskt, inte koniskt i formen) och en pappersremsa. Linda remsan några varv runt ljuset. Skär tvärs igenom både papper och ljus med en vass kniv. Låt något snitt bli vinkelrätt mot ljuset, och de andra bli mer eller mindre sneda. Rulla upp pappret och undersök de nygjorda sinuskurvorna. Titta på de avskurna stearinbitarna och beundra de snygga ovalerna (utom den som du skar av rakt, så att det blev en cirkel). Hoppas du också tycker det hänger ihop med din fråga i den här tråden!

Bra tips. Det går även bra med en tom hushållspappersrulle/toarulle.

Jag vet inte vad gick fel men det är dom fulaste sinuskurvor jag har sett nånsin!

Jag testade med toa rulle, knivet var inte tillräckligt vass till stearingljuset.

Hej Daja!

Dina tankar verkar kretsa kring sambandet mellan en cirkel och trigonometriska funktioner.

Enhetscirkeln består av alla punkter $(x,y)$ som befinner sig på avståndet 1 från origo $(0,0).$ Eftersom avståndet mellan de två punkterna $(x,y)$ och $(0,0)$ är lika med det positiva  talet

    $\displaystyle \sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}$

så följer det att punkten $(x,y)$ ligger på enhetscirkeln om talen $x$ och $y$ uppfyller ekvationen

    $\displaystyle x^2+y^2 = 1.$

Punkten $(x,y)$ ligger på enhetscirkeln om det finns en vinkel ($v$) som ligger mellan $0$ och $2\pi$ radianer sådan att

    $\displaystyle x = \cos v \text{ och } y = \sin v.$

Ekvationen $x^2+y^2 = 1$ blir då

    $\displaystyle \cos^2 v + \sin^2 v = 1$

och kallas Trigonometriska Ettan.

Albiki

Det var mer elegant än mina kökexperiment...

Det finns flera (ungefär) cylindriska saker man kan rulla sitt papper runt... Det kanske fungerar bättre med en varmkorv eller en gurka! Jag får väl erkänna att jag aldrig har testat det där med stearinljuset själv, jag läste om det någonstans, någon gång... Minns inte var, men det stod att hemmafruarna förr använde sig av stearinljus-metoden när de ville ha snygga vågiga pappersband att klistra fast i framkanten av kökshyllorna!

Jo jag måste säga att min kniv var inga match mot stearingljuset!

Kanske hemmafruar räknade sinuskurvor egentligen, eller ''hjälpte till'' sina genialistiska män att publicera teorier för vilka dom tog allt credit :p. Eftersom dom fick inte skriva historieböckerna :)

Man måste väl ''linda'' va, som kring en skadad arm, inte rulla runt regelbundet som en tejp?

Vill du ha snygga sinuskurvor skall du linda det rakt,som på en tejprulle.

Ok, det är bara att köpa korv (som en hemmafru)

Det jag läste var att hemmafruarna använde stearinljus. Eller kanske paraffinljus är mjukare? Man hade nog välslipade knivar på den tiden.