Lös ekvationen svara i radianer

läste fel

Kom ihåg att multiplicera med n.

X1 = +-(pi/4) + pi •n

X2= 2pi •n

X3=pi + 2pi • n

Hur kan man förenkla lösningsmängden?

Använd urtavlan.

Rita först in x₁-lösningarna och försök hitta ett enda uttryck för dessa.

Rita sedan in x₂- och x₃-lösningarna och försök hitta ett enda uttryck för dessa.

X1 kan förenklas till (pi/4)+pi•n

och X2 och X3 kan kanske förenklas till 2pi•n

Nej det stänmer inte riktigt.

Vi börjar med x₁. Visa en bild på den urtavla som motsvarar lösningarna i x₁.

Tänk på att rita koordinatsystem, som två "pilar". Inte pilar åt alla håll.

Rita dessutom enhetscirkeln.

Jag kan inte tolka din bild.

Rita en urtavla. Den är rund.

Rita in de minutvisare som motsvarar lösningarna i x₁. De har en viss riktning.

Rita den såhär ungefär, fokus är inte på axlarna, rita en större cirkel.

Okej. Vad blir nästa steg?

Rita in dina lösningar, enligt de instruktioner Yngve givit.

Nej du ska rita in minutvisare som går från urtavlans mittpunkt till urtavlans rand. som jag visade t.ex. i det här svaret.

1. Rita först in de minutvisare som motsvarar de två vinklar du får ur x₁ då n = 0, dvs $x_1=\frac{\pi}{4}$ och $x_1=-\frac{\pi}{4}$.
2. Rita sedan in de minutvisare som motsvarar de två vinklar du får ur x₁ då n = 1, dvs $x_1=\frac{\pi}{4}+\pi$ och $x_1=-\frac{\pi}{4}+\pi$.

Ta en titt på den här t.ex. https://www.youtube.com/watch?v=efOtozrlGs8

Sedan (eller direkt) följ Yngves instruktioner.

Vet inte om jag riktigt förstår..

Vinkeln är $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$ inte x-värdet. X-värdet ges av $\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$

Vad ska jag istället skriva i x koordinaten?

Du behöver inte skriva något där, men det som ska stå där om något är $\frac{1}{\sqrt{2}}$

Du ska inte skriva någonting alls där.

Titta på den här bilden jag gjorde till dig tidigare.

Jag vill att du gör en liknande bild fast där minutvisarna motsvarar lösningarna ur x₁

Ska det vara 60 grader +360n? Det känns inte att jag förstår vad jag ska göra 

Rita en minutvisare som motsvarar vinkeln $\frac{\pi}{4}$ radianer.

Visa din bild.

$\frac{\mathrm{\pi }}{4}={45}^{\circ }$

Så här.

En urtavla:

Samma urtavla där jag lagt till en minutvisare som motsvarar vinkeln pi/4:

Samma urtavla där jag lagt till en minutvisare som motsvarar vinkeln -pi/4:

Samma urtavla där jag lagt till en minutvisare som motsvarar vinkeln pi/4 + pi, dvs 5pi/4:

Samma urtavla där jag lagt till en minutvisare som motsvarar vinkeln -pi/4 + pi, dvs 3pi/4:

Hängde du med?

Nej. Jag förstår inte. Hur kan jag använda det här till att kunna ”förenkla” lösningsmängden?  Vad säger urtavlorna?

• Minutvisaren som pekar snett upp till höger visar "7,5 minuter över hel timme".
• Minutvisaren som pekar snett ner till höger visar "22,5 minuter över hel timme". dvs en tidpunkt som är exakt en kvart efter den förra.
• Minutvisaren som pekar snett ner till vänster visar "37,5 minuter över hel timme". dvs en tidpunkt som är exakt en kvart efter den förra.
• Minutvisaren som pekar snett upp till vänster visar "52,5 minuter över hel timme". dvs en tidpunkt som är exakt en kvart efter den förra.

Det skiljer alltså en kvarts timme mellan varje minutvisare.

Tänk dig nu att du har en klocka som piper varje gång minutvisaren motsvarar någon vinkel ur lösningsmängden x₁.

Den klockan skulle då pipa exakt varje kvart, dygnet runt, året runt.

Är du med på det?

Det här är precis samma typ av resonemang som jag förde i det här svaret i en av dina tidigare trådar.

Då skrev du att du förstod. Tänk på liknande sätt nu.

Blir det klarare då?

Vart kom 7,5 ifrån?

7,5 minuter över hel timme. Den minutvisare som motsvarar vinkeln pi/4.

Men pi/4 är samma sak som 180/4=45 grader .. Hur får du det till att bli 7,5 minuter? 

Jag använder en urtavla för att illustrera periodiciteten och för att jag hoppas att det med hjälp av den liknelsen blir enklare för dig att förstå hur du ska kunna sammanfatta lösningsmängder i enklare uttryck.

Titta på den här bilden. Förstår du kopplingen mellan minutvisare och vinklar?

”Förstår du kopplingen mellan minutvisare och vinklar?” 

Svar : Nej inte riktigt. Jag blir lite förvirrad över hur man ska se ett mönster. Vilket mönster? Kan du ge exempel på hur man kan använda sig av urtavlan för att hitta ett mönster? 

Titta på den urtavla som har fyra minutvisare.

Ser du att minutvisarna är jämnt fördelade? Det är ett mönster.

Är du med på att den klockan piper varje kvart? Det är ett mönster.

Översätt detta pipande till vinklar och periodicitet.

Vinklarna är 45 grader , -45 grader .180 grader 

Jag påstår att alla vinklar i lösningsmängden $x_1$ kan representeras av $x_1=\frac{\pi}{4}+n\cdot\frac{\pi}{2}$.

Ser du att det är så?

det är 90 grader mellan varje vinkel , därav ska det vara (pi/2)• n

Jag förstår inte vad du menar. Kan du med egna ord beskriva hur du sammanfattar alla lösningar i $x_1$?

Jag menar att det är 90 grader mellan vinkeln 45 grader och -45 grader. Det är 90 grader mellan vinkeln  90 och 180 grader 

Yngve skrev:

Jag påstår att alla vinklar i lösningsmängden $x_1$ kan representeras av $x_1=\frac{\pi}{4}+n\cdot\frac{\pi}{2}$.

Ser du att det är så?

Kan du då svara på min fråga här ovan?

Jag tycker inte det är lätt att se det. Svar : Nej jag ser inte det 

Vad är det som är svårt att se?

1. Är det svårt att se att de vinklar som minutvisarna motsvarar ligger pi/2 från varandra?
2. Är det svårt att se att den minutvisare som pekar snett upp åt höger motsvarar vinkeln pi/4?

Både 1 & 2 är svårt att se och hänga med på 

Ser du att minutvisarna är vinkelräta mot varandra, dvs att vinkeln mellan två närliggande minutvisare är 90 grader?

Ja det ser jag 

Det är räta vinklar mellan varje minutvisare 

Ja, det stämmer. Är du då med på att vinkeln mellan två närliggande minutvisare är pi/2?

Ja det är jag med på

Bra, då är du väl med på punkt 1?

Japp. Men punkt 2?

Är du med på detta?

ja jag är även med på det

Är du med på att 45 grader är lika med pi/4 radianer?

Japp  det är jag med på 

Bra, då är du väl med på punkt 2?

Ja. Men hur tänkte du när du skrev ihop den förenklade lösningsmängden?finns det någon specifik tankesätt? För nu förstår jag enhetscirkelns dvs jag ser mönstret men jag vet inte hur jag skriva ihop det

Första vinkeln är pi/4.

Därifrån ligger alla vinklar pi/2 från varandra.

Kan man skriva det 

pi/4 + (pi/2)*n=x

Ja, det stämmer.

Men varför ska det vara just pi/4 som gångars med perioden pi/2? Vad händer med pi i lösningen  X3 i min uträkning längst uppe ?

Nej pi/4 multipliceras inte, det är istället n som multipliceras med periodiciteten pi/2.

Det här var endast lösningsmängden x₁.

De andra två x₂ och x₃ får vi ta imorgon om ingen annan fortsätter här och nu.

Nu kan vi titta på lösningsmängderna $x_2$ och $x_3$.

Du har att $x_2=n\cdot2\pi$ och att $x_3=\pi+n\cdot2\pi$.

Rita nu en minutvisare som representerar en vinkel ur $x_2$, t.ex. den vinkel du får då $n=0$. Tänk på periodiciteten. Var hamnar de andra "minutvisarna" ur $x_2$?

Man kommer alltid att hamna åt vänster . Dvs kan periodiciteten förenklas till n*pi för x2. 

—

För X3 blir det 

pi 

3pi 

5pi

osv

det är 180 grader mellan varje vinkel

Dina värden på $x_3$ är rätt. Åt vilket håll pekar alla dessa minutvisare?

Men värdena på $x_2$ äf inte helt rätt. De blir ju $0$, $2\pi$, $4\pi$ o.s.v. Åt vilket håll pekar alla dessa minutvisare?

i X3 så pekar minutvisaren åt vänster , periodiciteten pi•n 

i x2 så pekar minutvisaren åt höger periodiciteten är 2pi • n

Katarina149 skrev:

i X3 så pekar minutvisaren åt vänster , periodiciteten pi•n 

Åt vänster är rätt, men periodiciteten är $2\pi$, dvs den är inte beroende av $n$.

i x2 så pekar minutvisaren åt höger periodiciteten är 2pi • n

Åt höger är rätt, men periodiciteten är $2\pi$, dvs den är inte beroende av $n$.

X2 och X3 kan alltså förenklas till 

x=2pi•n+pi

Ja, eller till och med $x=n\cdot\pi$

Är det fel om man svarar x=2pi•n+pi? Eller måste man svara x=n•pi? För jag förstår inte hur du får det till att bli x=n•pi? Hur vet du att det funkar med att förenkla svaret till x=pi•n

Det är inte fel, men det är inte heller skrivet på enklast möjliga form, så det kan nog bli poängavdrag.

Det går att skriva $x=n\cdot\pi$ eftersom den mängden innehåller exakt samma vinklar som mängden $x=2\pi+n\cdot\pi$.

Hur kan du visa det/se det mha en enhetscirkel?

Det går att visa/se med hjälp av en urtavla där en minutvisare pekar på "kvart i varje hel timme" (motsvarar lösningarna  $\pi+n\cdot2\pi$) och en annan minutvisare oekar på "kvart över varje hel timme" (motsvarar lösningarna $n\cdot2\pi$).

Om klockan nu piper varje gång minutvisaren når någon av dessa positioner så kommer du att ha en klocka som piper kvart i och kvart över varje hel timme dygnet runt, året runt. Det motsvarar lösningsmängden $n\cdot\pi$.

==============

Om du föredrar enhetscirkeln så har du en radie som pekar rakt åt höger varje varv (motsvarar lösningarna $n\cdot2\pi$) och en radie som pekar rakt åt vänster varje varv (motsvarar lösningarna $\pi+n\cdot2\pi$). Om du lägger ihop alla dessa så kan de beskrivas av $n\cdot\pi$.

Om n=1  då får vi pi. Om n=2 då får vi 2pi och hamnar på samma plats.. om n=-1 då hamnar vi åt vänster 

Jag förstår inte vad du menar.

Jag menar att vi alltid kommer att antingen hamna 180 grader åt höger eller 180 grader åt vänster 

Om du menar rakt åt vänster och rakt åt höger så håller jag med.

Är allt klart för dig nu eller har du någon ytterligare fråga?