Lära sig division utan att förstå?

Det ligger väl rätt mycket annat bakom den artikeln än bara divisionen av 18 med 3. Jag kommer inte på någon bra metod för att dela 18 med 3. Jag bara minns att det är 6, och det är väl för att jag har sett det göras tillräckligt ofta, och tänkt på i vilka multiplikationstabeller 18 finns (i treans och sexans). Ett systematiskt sätt är förstås att dra bort högar om 6 tills det tar slut, och räkna högarna. Det är förmodligen bra för att visa själva begreppet division.

Redan på 80-talet var mattenivån i svenska skolan betydligt lägre än i en del andra länder, och högskolan behövde ha en inledande kurs i matte för att försöka överbrygga gapet. Men sen jag själv gick ut så är allt jag vet om detta bara hörsägen.

Jag läste inte hela artikeln nu men det är ju lite kul med den sortens ja vad ska man ens kalla det? Man vet den, men avslöjandet kommer senare?

Att klotet, cylindern och konens volymer kan räknas ut med rotationskroppar var ju en så WOW uppenbarelse för mig, och för klassen tror jag. Däremot när jag, innan jag lärde mig om rotationskroppar, googlade varför formlerna såg ut som de såg ut hittade jag flera sidor (därbland yahoo.com) som förklarade det med vad jag idag misstänker var just rotationskroppar. Jag förstod självfallet inte vad de höll på med och fick aldrig reda på varför.

Samma (men inte riktigt på samma sätt) när vår lärare sa att f'(x)=2x är en differentialekvation haha.

Om barnen i artikeln så tycker jag väl att det låter bra, men en hel termin ska man väl inte vänta? Är det så komplicerat? Jag tycker att det upplägget låter bra. Barnen kanske lagom till avslöjandet redan har uppfunnit egna notationer, inte så svårt om det redan lärt sig plus och minus. Hursomhelst är en termins väntande för mycket tycker jag.

Förresten tror jag att en del av barnen som håglöst tittar ut genom fönstret gör det för att det hela är så tråkigt för att de har fattat för länge sen. Sen lyssnar de inte och vips har det blivit svårt i stället, eller de har tappat intresset permanent.

Detta är ett typiskt exempel på svensk skolforskning. Enligt denna skall eleverna "själva finna sin kunskap" och sättet de skall göra det på innehåller inte att en lärare talar om för dem vad man genom beprövad erfarenhet har kommit fram till.

Detta är baserat på en tolkning av konstruktivismen som ju i dess kärna bygger på att man skall bygga ny kunskap på  vad man vet sedan tidigare. Alltså konstruerar man sitt eget vetande. Det är ju inget fel på detta som teori man det har alltså fått den ytterligare tolkningen i svensk skolforskning att eleverna själva måste söka efter kunskapen och att den inte får ges till eleven av läraren.

Så om någon funderar på vad som är fel i svensk skola är detta ett typiskt exempel. Det är kopplat till detta om att eleverna, även riktigt små elever, skall "forska". Det jag aldrig har fått svar på av någon som sysslar med detta är hur eleverna skall veta vad de skall leta efter? Speciellt de svagare eleverna.

Sedan har säkert Laguna rätt i att de starkare eleverna är så hemskt understimulerade att även de ger upp.

Jo, precis, det är kanske för enkelt. Hur gamla var barnen som blev utsatta för det här pedagogiska experimentet?

Nu är jag inte insatt i hur det ser ut på grundskolan men om man läser grundskolematten som vuxen ligger division i de första 100 poängen av 600 så typ slutet åk1 början åk2 vilket torde innebära att de är 8 år.

Problemet här är att för en del är det så enkelt att de blir uttråkade eftersom de måste vänta på de andra. Sedan har vi dem som krönikören syftar på som ger upp för de förstår inte ens uppgiften och ännu mindre kan de hitta lösningen själva. Därmed inte sagt att de inte skulle kunna lära sig dividera, bara man presenterade för dem hur man gör.

Det är ju tur att detta inte spridit sig upp i högskolan, det vore ju intressant om alla ingenjörsstudenter skulle själva komma på Maxwells ekvationer.

Självklart blir det svårare ju högre upp. Man har ingen vardaglig intuition att gå på. Däremot har man kanske någon sorts ämneskunskapsintuition att gå på...

Enligtr Matteboken.se börjar man lära sig multiplikation i åk 3, division också.

Smaragdalena skrev:

Enligt Matteboken.se börjar man lära sig multiplikation i åk 3, division också.

Jag blev lite förvånad när man nämnde division i åk 1 och åk 2.

Om jag inte minns alldeles galet så lärde vi oss trappan som senare ersattes med liggande stolen, först i fjärde klass.
Därför undrar jag om det är åk 1 och åk 2 för gymnasiet som omnämns i artikeln?
Det verkar mer rimligt eftersom det verkar vara flera elever på gymnasiet som inte kan liggande stolen och en orsak kan väl vara att de inte kan multiplikationstabellen utantill?

Nu får ni som arbetar i skolan gärna rätta mig. Det kanske är en liten procent som har så låg kunskap i gymnasiet?

Nu hävdar jag inte att det är vissa som drar det här med eget utforskande till överdrift, men man måste ju också inse baksidan med att lära barnen räkna utan att förstå vad det är de räknar ut.

Om man bara rakt upp och ned lär barnen hur man mekaniskt utför division kommer de att bli jättebra på det. Om de får uppgiften "beräkna 540/9" klarar de den utan problem. Men en del av barnen kommer sitta som frågetecken när de sedan får en uppgift som "Kalle, Lisa och Pelle skall dela lika på 15 äpplen", även fast de kan beräkna 15/3. De har förstått hur man räknar division, men de har inte kopplat det till vad det används till.

När dessa elever sedan lärt sig uppgifter av typen "X saker skall delas mellan Y personer" kommer nästa fråga där "En glass kostar 7 kr. Hur många glassar kan man köpa för 28 kr?". Då sitter de återigen som frågetecken, trots att de faktiskt kan beräkna 28/7. Istället för att memorera uppgiftstyper en och en är väl skolverkets tanke att eleverna genom att fördjupa sin förståelse för vad division faktiskt är skall kunna själva komma på hur man kan använda division i en viss uppgift, utan att ha sett en likadan uppgift förut.

Jag ser detta mönster på högstadiet och gymnasiet också. Istället för att lära sig vad metoder och begrepp faktiskt innebär memorerar många att "på sådana här uppgifter gör man så här", vilket låser dem till en viss mängd kända uppgiftstyper. Om man lägger mer fokus på varifrån begrepp och metoder kommer och hur man kan härleda dem tror jag att man kan klara av uppgiftstyper man aldrig sett förut. Det sparar mycket tid mot för att sitta och nöta in hur man lär sig varje uppgiftstyp. Även om strategin med att memorera olika typer av uppgifter i vissa fall fungerar måste man ju komma ihåg att syftet med att lära sig är att kunna tillämpa sina kunskaper på alla problem, inte bara på just de frågor som kommer på proven.

Intressant diskussion! Det låter såklart extremt om det är så att barnen ska "forska" om division på egen hand i en hel termin. Undrar dock om det verkligen är så. 

Jag ser inte mycket poäng i att lära barnen räkna division mekaniskt om de inte förstår vad de gör. T.ex. ser jag ingen större mening i att lära sig liggande stolen. Måste vara sällsynt med barn som förstår hur den fungerar. Men det kanske utvecklas nya algoritmer som fokuserar mer på förståelse? I så fall kanske det går att lära sig division-uträkningar först och sen förstå efter?

I fysik t.ex. tycker jag inte det är ovanligt att stöta på elever som har absolut noll förståelse. Det enda de kan är att stoppa in tal i olika formler och möjligen lärt sig vissa typproblem. Också meningslöst tycker jag.

AlvinB skrev:

Jag ser detta mönster på högstadiet och gymnasiet också. Istället för att lära sig vad metoder och begrepp faktiskt innebär memorerar många att "på sådana här uppgifter gör man så här", vilket låser dem till en viss mängd kända uppgiftstyper.

Exakt. Det är väldigt problematiskt. Runt nationellaprovtider ser jag elever på tåget som läser deras mattebok. Enligt mig är inte bokens formeler eller förklaringar dess viktigaste innehåll, utan mycket snarare frågorna. Givet de förhållanderna förstår jag inte vad läsning skulle hjälpa. Någon sorts ytlig inlärning som försprång innan läraren ska ta upp det är rimligt, men som sagt, kring de tiderna är det ytterst märkligt.

emilg skrev:

 

Jag ser inte mycket poäng i att lära barnen räkna division mekaniskt om de inte förstår vad de gör. T.ex. ser jag ingen större mening i att lära sig liggande stolen. Måste vara sällsynt med barn som förstår hur den fungerar.

OK då undrar jag hur din lösning ser ut på detta problem.(det skulle också vara intressant att se Qetsiyas lösning)

Endast papper, penna och "hjärna" är tillåtet. För att det ska bli lite enklare så räcker det med två decimaler i svaret.

$\frac{31,483}{2,832·3,191}$

Qetsiyah skrev:

AlvinB skrev:

Jag ser detta mönster på högstadiet och gymnasiet också. Istället för att lära sig vad metoder och begrepp faktiskt innebär memorerar många att "på sådana här uppgifter gör man så här", vilket låser dem till en viss mängd kända uppgiftstyper.

Exakt. Det är väldigt problematiskt. Runt nationellaprovtider ser jag elever på tåget som läser deras mattebok. Enligt mig är inte bokens formeler eller förklaringar dess viktigaste innehåll, utan mycket snarare frågorna. Givet de förhållanderna förstår jag inte vad läsning skulle hjälpa. Någon sorts ytlig inlärning som försprång innan läraren ska ta upp det är rimligt, men som sagt, kring de tiderna är det ytterst märkligt.

Att man repeterar just före ett prov tycker jag inte alls är märkligt. Det är bara de totalt ointresserade och de allra bästa som inte gör det.

Går väl hand i hand med vad som lärs ut av idioterna på pedagogiska facket av högskolor. Jag absolut avskyr tanken som många kommer med angående konstruktvisim och allt därtill. Det finns ALDRIG en tanke på hur det ska användas i praktiken utan enbart en teori som är så otillämpbar att jag storknar. Eleven ska... Ja, hur ska eleven kunna bygga upp en förståelse utan att ens förstå frågan eller vad som det fiskas efter?

Så som didaktik/pedagogik lärs ut idag på högskolan är något jag är ovän med. 

ConnyN skrev:

emilg skrev:

 

Jag ser inte mycket poäng i att lära barnen räkna division mekaniskt om de inte förstår vad de gör. T.ex. ser jag ingen större mening i att lära sig liggande stolen. Måste vara sällsynt med barn som förstår hur den fungerar.

OK då undrar jag hur din lösning ser ut på detta problem.(det skulle också vara intressant att se Qetsiyas lösning)

Endast papper, penna och "hjärna" är tillåtet. För att det ska bli lite enklare så räcker det med två decimaler i svaret.

$\frac{31,483}{2,832·3,191}$

Haha. Du känner inte att det bästa sättet att lösa det problemet är att plocka fram miniräknaren? 

emilg skrev:

ConnyN skrev:

Visa föregående citat

emilg skrev:

 

Jag ser inte mycket poäng i att lära barnen räkna division mekaniskt om de inte förstår vad de gör. T.ex. ser jag ingen större mening i att lära sig liggande stolen. Måste vara sällsynt med barn som förstår hur den fungerar.

OK då undrar jag hur din lösning ser ut på detta problem.(det skulle också vara intressant att se Qetsiyas lösning)

Endast papper, penna och "hjärna" är tillåtet. För att det ska bli lite enklare så räcker det med två decimaler i svaret.

$\frac{31,483}{2,832·3,191}$

Haha. Du känner inte att det bästa sättet att lösa det problemet är att plocka fram miniräknaren? 

Om det är ditt svar så är du ute på djupt vatten. Hur långt ska vi skippa det där med mekanisk räkning? Vad händer när du kommer till punkten där mekanisk räkning krävs men du kan inte ens förenkla en division? 

woozah skrev:

Så som didaktik/pedagogik lärs ut idag på högskolan är något jag är ovän med. 

Jag är inte superinsatt men för ett antal år sedan började jag en sådan där kpu (1.5 år för att bli lärare). Kom en halv termin. Det som lärdes ut var i princip helt irrelevant för att vara en bra lärare så det gick inte. 

woozah skrev:

Om det är ditt svar så är du ute på djupt vatten. Hur långt ska vi skippa det där med mekanisk räkning? Vad händer när du kommer till punkten där mekanisk räkning krävs men du kan inte ens förenkla en division? 

Djupt vatten? Du tycker det är viktigt att kunna lösa (31,4832)/(2,832⋅3,191) på papper? Ok.

ConnyN skrev:

OK då undrar jag hur din lösning ser ut på detta problem.(det skulle också vara intressant att se Qetsiyas lösning)

Endast papper, penna och "hjärna" är tillåtet. För att det ska bli lite enklare så räcker det med två decimaler i svaret.

$\frac{31,483}{2,832·3,191}$

 

Varflr är min lösningmetod extra intressant? Jag suger på huvudräkning. Om jag verkligen var tvungen kan jag väl. Multiplikationen där nere kan jag göra med lite möda, divisionen kan jag utföra med ännu mer möda. Jag kan bara kort division...

Laguna skrev:

Att man repeterar just före ett prov tycker jag inte alls är märkligt. Det är bara de totalt ointresserade och de allra bästa som inte gör det.

Jomen självklart är det så! Det är alldeles självklart att man ska träna inför prov, om man vill ha något bra betyg. 

Min kommentar handlade om själva tillvägagångssättet, där tycker jag inte att just läsning är så effektivt för matte. Eventuella formeler eller härledningar/förklaringar till dessa ska man redan kunna, kursen är ju slut då nationella kommer. Det som återstår är att träna, och det gör man genom att göra frågor, helst av den utmanande sorten.

Qetsiyah skrev:
Varflr är min lösningmetod extra intressant? Jag suger på huvudräkning. Om jag verkligen var tvungen kan jag väl. Multiplikationen där nere kan jag göra med lite möda, divisionen kan jag utföra med ännu mer möda. Jag kan bara kort division..

Hur gjorde du när du kom till polynomdivision i matten? Där tycker jag att kort division verkligen failar - förutom att den kräver omänskligt mycket arbetsminne om man vill dividera med något annar än ett ensiffrigt heltal (eller en tiopotens). Miniräknaren är inte heller användbar vid polynomdivision.

Hahahaha, du uppdaterar ditt vokabulär ser jag! Kort division failar mycket riktigt när det kommer till polynomdivision. Det var under matte 4 som jag fick lära mig det, jag kunde det jättebra men använde det aldrig igen och har glömt för länge sen. Kanske ska lära mig det igen inför envariabel, hoppas inte.

Självklart behöver man uppdatera sin vokabulär  - det finns t ex folk här på PA som har svårt att acceptera fackuttrycket bumpa, bara för att det inte fanns när de själva gick på gymnasiet.

Vad var det för metod du lärde dig i Ma4? Liggande stolen? (Om du verkligen hatar divisionsalgoritmen kan du oftast ansätta ett polynom av lämplig grad istället och lösa ett ekvationssystem, men det finns tillfällen när det inte fungerar.)

Det är ju inte ett binärt förhållande mellan att eleverna skall "forska" fram sitt eget kunnande eller att man bara lär eleverna procedurer. Förståelsen för vad man gör är a och o men det kan man också uppnå utan att eleven själv måste upptäcka allting. Det kan också vara en lärare som förklarar vad det är och hur det fungerar. Detta är ju dock inget som får förekomma då eleverna själva skall komma på vad det är.

Att sedan visa kända, effektiva, metoder för att utföra just detta när man väl fått eleverna att förstå vad man vill uppnå istället för att eleven skall själv hitta på en metod kan ju inte vara fel. Till exempel är Liggande stolen , eller trappan som det var på min tid, en effektiv metod att beräkna en division där inte alla ingående tal är heltal. Det innebär ju inte att man bara skall lägga fram metoden utan att först förklara avd den är tänkt att lösa. Sedan kan man alltid föra diskussionen att idag har alla en räknare i fickan i form av telefonen så det behövs inte att kunna räkna för hand.

Men visst förekommer det också, tyvärr, att eleverna bara får höra "gör såhär så blir det rätt" med en formel eller en procedur. Naturvetenskapen och/eller fysiken är ju ett paradexempel. Problemet här är ju att härledningen av formeln ibland kräver matematik som eleverna inte är i närheten av. Ta klotets volym till exempel. Jag vet inget sätt att härleda den formeln utan att använda rotationsvolymer. Innebär då det att jag inte kan använda klotets volym innan jag lärt mig att härleda formeln?

Jag försöker i min lärargärning att få eleverna att förstå vad de gör. Jag säger åt dem att alltid försöka hitta kopplingen till det de redan kan. Den kopplingen finns där, hela tiden. Det är på det sättet de utökar sin kunskap, genom att bygga vidare på vad de kan. Detta innebär dock inte att jag inte kan visa för dem vad det innebär, hur det fungerar, och hur de skall göra för att lösa problemet. Detta är dock inte helt rätt enligt skolverket.

Tillämpningar av matematiska metoder är väldigt viktigt, det är väl bara sanna matematiker som inte behöver kopplingen till verkligheten. Men jag menar på att en normal mattebok är ju oftast väldigt bra på att just ta upp det och sätta in det i ett sammanhang. Då börjar men med att lära sig vad det innebär för att sedan gå vidare med tillämpningar på olika sätt så man lär sig att använda det. Men det gäller då att man faktiskt jobbar med övningsexemplen. 

Conny: Jag undervisar(bland annat) i grundläggande matematik på vuxenutbildningen. Denna är uppdelad i 4 delkurser på 100, 100, 200 och 200 poäng. Grundläggande division ingår i den första delkursen. Därför gissade jag på att det skulle ligga i slutet ÅK1 eller början ÅK2 men tydligen kommer det senare i grundskolan. Sedan diskussionen över elevernas bristande kunskaper i matematik när de börjar gymnasiet är en annan, intressant, diskussion.

Qetsiyah skrev:

Laguna skrev:

Att man repeterar just före ett prov tycker jag inte alls är märkligt. Det är bara de totalt ointresserade och de allra bästa som inte gör det.

Jomen självklart är det så! Det är alldeles självklart att man ska träna inför prov, om man vill ha något bra betyg. 

Min kommentar handlade om själva tillvägagångssättet, där tycker jag inte att just läsning är så effektivt för matte. Eventuella formeler eller härledningar/förklaringar till dessa ska man redan kunna, kursen är ju slut då nationella kommer. Det som återstår är att träna, och det gör man genom att göra frågor, helst av den utmanande sorten.

Men att läsa är lite lättare att göra på ett tåg. ;P Större uppgifter räknas bäst hemma i lugn och ro.

Angående mitt exempel 31,483 / (2,832 * 3,191)

Emilg skrev:  Haha. Du känner inte att det bästa sättet att lösa det problemet är att plocka fram miniräknaren? 

Oetsiyah skrev: Varför är min lösningsmetod extra intressant? Jag suger på huvudräkning. Om jag verkligen var tvungen kan jag väl. Multiplikationen där nere kan jag göra med lite möda, divisionen kan jag utföra med ännu mer möda. Jag kan bara kort division...

Varför ville jag veta det? Jo ni är uppenbarligen två relativt unga män som är mycket duktiga på matematik.
Min undran var om det fanns för mig okända vägar att lösa en sådan uppgift med penna och papper med dagens utbildning.

Det verkar inte att vara så av era svar att döma och det behövs uppenbarligen inte. Möjligen vid polynomdivision och då lär ni er det förmodligen ganska fort.

För mig var det inte många minuters arbete att sätta ihop uppgiften och lösa den.
Jag bifogar en länk här till mitt kladdiga utkast från morgonen, men en erfarenhet för mig är att det faktiskt kanske inte behöver läras ut?

https://imgur.com/a/NX4Mdci

emilg skrev:

woozah skrev:

Om det är ditt svar så är du ute på djupt vatten. Hur långt ska vi skippa det där med mekanisk räkning? Vad händer när du kommer till punkten där mekanisk räkning krävs men du kan inte ens förenkla en division? 

Djupt vatten? Du tycker det är viktigt att kunna lösa (31,4832)/(2,832⋅3,191) på papper? Ok.

Nej, men du drar en tydlig gräns när man bara ska skippa mekanisk kunskap (som är viktig!!!!). Vad händer när man hela tiden struntar i det mekaniska och fortsätter som du gör? Vad händer när du kommer till gränsen där din metod inte fungerar men du har inte heller lärt dig metoden för det du egentligen ska kunna?

woozah skrev:

emilg skrev:

Visa föregående citat

woozah skrev:

Om det är ditt svar så är du ute på djupt vatten. Hur långt ska vi skippa det där med mekanisk räkning? Vad händer när du kommer till punkten där mekanisk räkning krävs men du kan inte ens förenkla en division? 

Djupt vatten? Du tycker det är viktigt att kunna lösa (31,4832)/(2,832⋅3,191) på papper? Ok.

Nej, men du drar en tydlig gräns när man bara ska skippa mekanisk kunskap (som är viktig!!!!). Vad händer när man hela tiden struntar i det mekaniska och fortsätter som du gör? Vad händer när du kommer till gränsen där din metod inte fungerar men du har inte heller lärt dig metoden för det du egentligen ska kunna?

Ärligt talat vet jag inte vad du pratar om. Det enda jag skrivit är ju att just så här komplicerade tal tycker jag lämpar sig bäst att lösas med räknare. Jag är t.ex. en stor förespråkare av att kunna räkna mycket algebra för hand. Att lägga mycket tid på att lära sig räkna ut stora tal med någon division-algoritm, inte stor förespråkare. 

emilg skrev:

Det enda jag skrivit är att just så här komplicerade tal tycker jag lämpar sig bäst att lösas med räknare. Jag är t.ex. en stor förespråkare av att kunna räkna mycket algebra för hand. Att lägga mycket tid på att lära sig räkna ut stora tal med någon division-algoritm, inte stor förespråkare. 

Ser det här så svårt ut? Det lärde vi oss i 5-6 året i grundskolan. (Ber om ursäkt för den slarviga stilen)

ConnyN skrev:

emilg skrev:

 

Jag ser inte mycket poäng i att lära barnen räkna division mekaniskt om de inte förstår vad de gör. T.ex. ser jag ingen större mening i att lära sig liggande stolen. Måste vara sällsynt med barn som förstår hur den fungerar.

OK då undrar jag hur din lösning ser ut på detta problem.(det skulle också vara intressant att se Qetsiyas lösning)

Endast papper, penna och "hjärna" är tillåtet. För att det ska bli lite enklare så räcker det med två decimaler i svaret.

$\frac{31,483}{2,832·3,191}$

Och om någon tog ifrån dig papper och penna, vad skulle du då göra?

Tänka så här
31/3 är ungefär 10
10/2,8 borde bli lite mindre än 3,33, så en gissning på 3,1 3,2 så där ungefär.

Om dom nu tog bort min hjärna ja då skulle jag nog tycka matteträning var onödigt.

Edit: Rackarns nu var jag för snabb, då blir det ju aningen större så 3,4 3,5 hade varit ett bättre svar.

Jag håller med emilg. Det är sant att det är trögt att inte kunna utföra något så enkelt som 60/3 utan räknare, men desto mer komplicerade räkneproblem det är är fråga om, desto mindre användning har man för det eftersom de är sällsyntare och pga att det i riktiga livet är sällan man inte 'får' använda miniräknare. 

ConnyN, det jag vill veta är hur lång tid det tog för dig? Jag ska testa och se hur snabbt (långsamt) jag kan göra den. 

AndersW skrev:

Det är ju inte ett binärt förhållande mellan att eleverna skall "forska" fram sitt eget kunnande eller att man bara lär eleverna procedurer. Förståelsen för vad man gör är a och o men det kan man också uppnå utan att eleven själv måste upptäcka allting...

[...]

Jag tycker absolut inte det skall vara så att lärarna inte får berätta för eleverna hur det "ska gå till". Om det finns lärare som bedriver undervisning på det sättet är det ju absurt, för då är ju läraren helt meningslös. Poängen med denna metodik är väl snarare att låta eleverna först klura själva, och därefter lära dem det "riktiga sättet". Bra lärarförklaringar är verkligen inte något dåligt, och är ett bra alternativ, men ännu bättre komplement till att eleverna försöker själva.

Men du tar själv upp exempel där man inte ens försöker med vare sig lärarförklaringar eller eget tänkande. Nämligen klotets volym. Eleverna får en formel där man säger "så här det", utan minsta försök till att förklara eller ens troliggöra varför man gör som man gör. Om man skalar klotet som en apelsin går det att få fram en pyramid med höjden $r$ och basytan $4\pi r^2$ (klotets area), med vilken man kan härleda klotets volym. Att göra rigorösa bevis är kanske inte nödvändigt på högstadienivå, varför man kanske kan utelämna detaljer som att skalen måste vara oändligt tunna och oändligt många. Men du har rätt i att det är svårt att förklara detta för grundskoleelever. Man kan väl då också ställa sig frågan om det över huvudtaget är nödvändigt att lära sig klotets volym i grundskolan. Du och jag tycker det är grundläggande kunskap eftersom vi lärde oss det tidigt, men är kunskap om klotets volym särskilt basal eller ens nödvändig för grundskoleelever egentligen?

Men ett ännu värre exempel är väl cirkelns area. Den kan jag hålla med om att den är nödvändig att kunna, men det finns ju så många enkla bevis att det nästan är konstigt att jag aldrig sett eller hört talas om någon grundskolelärare som försöker härleda den för sina elever. Dock tycker jag att geometrin kanske är en del av matematiken där man så att säga klarar sig bäst utan förståelse och bevis. Andra områden som ekvationslösning blir mycket mindre sannolikt att man gör fel på om man förstår saker som att plus inte blir minus när man flyttar över det till andra sidan utan att man gör en subtraktion i båda led för att behålla likheten eller att både positiva och negativa tal blir positiva i kvadrat och att det är därför man lägger till plus minus när man löser $x^2=4$.

Min egen grundskoleutbildning är förmodligen mycket mer färsk än er andras, och jag kan säga att min upplevelse var verkligen inte att man själv skulle forska fram allting själv. I låg- och mellanstadiet visades man exempel som man först skulle klura på och sedan fick robusta verktyg för att kunna lösa även då svaret inte var lika uppenbart som i de inledande exemplen. Min erfarenhet var dock att när man kom upp i högstadiet försvann mer och mer av dessa bakomliggande förklaringar och fokus skiftade till användande istället för förståelse.

Cirkelns area tycker jag att man skulle kunna förklara ganska tidigt genom att klippa isär en cirkel i 8 lika stora sektorer, dela en av sektorerna på mitten och lägga ihop dem till en (nästan) rektangel. Rektangelns area är (ungefär) (omkretsen/2) gånger radien, d v s pi*r². Om man gjorde 16 delar i stället för 8 skulle värdet bli ännu närmare,och om man gjorde oändligt många tårtbitar skulle värdet bli exakt. (Jag förutsätter att man tidigare visat att omkretsen är 2*pi*r.)

Qetsiyah skrev:

Jag håller med emilg. Det är sant att det är trögt att inte kunna utföra något så enkelt som 60/3 utan räknare, men desto mer komplicerade räkneproblem det är är fråga om, desto mindre användning har man för det eftersom de är sällsyntare och pga att det i riktiga livet är sällan man inte 'får' använda miniräknare. 

ConnyN, det jag vill veta är hur lång tid det tog för dig? Jag ska testa och se hur snabbt (långsamt) jag kan göra den. 

Känslan var mindre än 10 minuter. Vid en test nu så gjorde jag det på 6 minuter i lugnt tempo, men det går alltid fortare andra gången så c:a 8 minuter kanske skulle vara rimligt. (Multiplikationen tog 3 min. och divisionen 3 min.)

För att se vad min avrundning inför divisionen hade för betydelse, så gjorde jag ytterligare en uträkning med tre decimaler till divisionen och delade då 31483 med 9037 det tog 4 min. i ett lika lugnt tempo. Svaret blev som väntat något större, men påverkade inte svaret där jag krävde endast två decimalers noggrannhet.

En liten udda sak var att nu gjorde jag det noggrant på rutat papper och upplevde att jag tjänade tid för att efterkontrollen var betydligt lättare att utföra.

Alvin: Vi kan tycka att det är absurt och fel men läs kursplanerna och styrdokumenten så ser du att läraren i den ursprungliga artikeln gjorde helt rätt enligt dessa. Det är det som kommer ut ur svensk skolforskning och därmed även från skolverket. Du har säkert gått grundskolan senare än mig, det är inte svårt jag gick hela grundskolan under lgr69, men detta har accelererat och tyvärr blivit värre med tiden och läroplanen från 11 är tyvärr inte kulmen på detta vad jag förstått och så ung att du gått grundskolan under denna tror jag inte. Lyckligtvis finns det ju också många lärare som ifrågasätter och gör på ett annat sätt även om de inte följer riktlinjerna.

Sedan när det kommer till geometrin, framförallt rymdgeomerin, så är det få som läser den matten som behövs för att bevisa de olika formlerna så om man inte kan presentera dem skulle en mycket stor del av befolkningen inte ha en aning hur man beräknar volymen av något annat är rätblock och möjligen cylindrar. Visst kan man genom olika metoder troliggöra att formeln stämmer men att bevisa blir svårt. Det är ju inte direkt intuitivt att en kon har en volym som är en tredjedel av en cylinder med samma basarea och höjd.

Att "flytta över och byta tecken" vid ekvationslösning fungerar bra och är ok att göra om du förstår varför det blir rätt dvs att du egentligen adderar (eller subtraherar) från båda sidorna. Det är ungefär som division av bråk. Visst, multiplicera med täljarens invers men förstå varför det fungerar. Däremot tycker jag att du har fel när du säger att det är inom geometrin där man klarar sig bäst utan förståelse och bevis, det är där bevisandet verkligen kommer in och är enklast att förklara. Detta med att klippa och lägga om är ju lite vanskligt: http://www.innovadesign.se/New_InnovaDesign/triangel.html#

Kokboksmetoden (gör såhär så blir det rätt)  att lära ut är tyvärr lite för vanlig, speciellt när man börjar komma upp i årskurserna. Det är inte bra men å andra sidan säger man att man kan laga mat om man kan följa ett recept, det krävs inte att man skall kunna komponera sin egen maträtt så någonstans där kanske vi, som matematiker, är för strikta i våra åsikter.

emilg skrev:

woozah skrev:

Visa föregående citat

emilg skrev:

woozah skrev:

Om det är ditt svar så är du ute på djupt vatten. Hur långt ska vi skippa det där med mekanisk räkning? Vad händer när du kommer till punkten där mekanisk räkning krävs men du kan inte ens förenkla en division? 

Djupt vatten? Du tycker det är viktigt att kunna lösa (31,4832)/(2,832⋅3,191) på papper? Ok.

Nej, men du drar en tydlig gräns när man bara ska skippa mekanisk kunskap (som är viktig!!!!). Vad händer när man hela tiden struntar i det mekaniska och fortsätter som du gör? Vad händer när du kommer till gränsen där din metod inte fungerar men du har inte heller lärt dig metoden för det du egentligen ska kunna?

Ärligt talat vet jag inte vad du pratar om. Det enda jag skrivit är ju att just så här komplicerade tal tycker jag lämpar sig bäst att lösas med räknare. Jag är t.ex. en stor förespråkare av att kunna räkna mycket algebra för hand. Att lägga mycket tid på att lära sig räkna ut stora tal med någon division-algoritm, inte stor förespråkare. 

Du drar ju en uppenbar gräns för när man ska använda miniräknare och inte. Jag har beräknat bra mycket svårare saker för hand på tentor där man inte har miniräknare. Problemet med din metod är att använder man miniräknare till lite svårare så kommer elever alltid börja använda miniräknare till allt. Det finns många som jag sett studerat på universitet som använder miniräknare "för att verkligen se" att 4+5 är 9. Det här med miniräknare blir ett reellt problem till slut, ofta på universitetet när eleverna gått genom grundskola och gymnasiet med vetskapen om att miniräknare är lösningen på allt. Det läggs dessutom ovanligt mycket vikt på miniräknare i mattekurserna i Gy/Gr så därför är jag starkt motsatt dom. 

Allt som allt så är jag en större motståndare till miniräknare eftersom det i slutändan nästan alltid har en inverkan på mekanisk beräkning, speciellt då många elever är extremt ointresserade av matematik och således bara tar bästa första hjälpmedel och kör på istället för att lära sig metoden själv.

woozah skrev:

emilg skrev:

Visa föregående citat

woozah skrev:

emilg skrev:

Visa föregående citat

woozah skrev:

Om det är ditt svar så är du ute på djupt vatten. Hur långt ska vi skippa det där med mekanisk räkning? Vad händer när du kommer till punkten där mekanisk räkning krävs men du kan inte ens förenkla en division? 

Djupt vatten? Du tycker det är viktigt att kunna lösa (31,4832)/(2,832⋅3,191) på papper? Ok.

Nej, men du drar en tydlig gräns när man bara ska skippa mekanisk kunskap (som är viktig!!!!). Vad händer när man hela tiden struntar i det mekaniska och fortsätter som du gör? Vad händer när du kommer till gränsen där din metod inte fungerar men du har inte heller lärt dig metoden för det du egentligen ska kunna?

Ärligt talat vet jag inte vad du pratar om. Det enda jag skrivit är ju att just så här komplicerade tal tycker jag lämpar sig bäst att lösas med räknare. Jag är t.ex. en stor förespråkare av att kunna räkna mycket algebra för hand. Att lägga mycket tid på att lära sig räkna ut stora tal med någon division-algoritm, inte stor förespråkare. 

 

Du drar ju en uppenbar gräns för när man ska använda miniräknare och inte. Jag har beräknat bra mycket svårare saker för hand på tentor där man inte har miniräknare. Problemet med din metod är att använder man miniräknare till lite svårare så kommer elever alltid börja använda miniräknare till allt. Det finns många som jag sett studerat på universitet som använder miniräknare "för att verkligen se" att 4+5 är 9. Det här med miniräknare blir ett reellt problem till slut, ofta på universitetet när eleverna gått genom grundskola och gymnasiet med vetskapen om att miniräknare är lösningen på allt. Det läggs dessutom ovanligt mycket vikt på miniräknare i mattekurserna i Gy/Gr så därför är jag starkt motsatt dom. 

Allt som allt så är jag en större motståndare till miniräknare eftersom det i slutändan nästan alltid har en inverkan på mekanisk beräkning, speciellt då många elever är extremt ointresserade av matematik och således bara tar bästa första hjälpmedel och kör på istället för att lära sig metoden själv.

Att du är negativt ställd till miniräknare är redan uppenbart, vill du däremot förtydliga var du vill dra denna gräns? Att 4+5 inte ska behöva miniräknare håller även emilg om, ärligt talat vilken människa som helst. 

Är det rimligt att vilja ha miniräknare till 31,483 / (2,832 * 3,191)? Definitivt.

AndersW skrev:

Alvin: Vi kan tycka att det är absurt och fel men läs kursplanerna och styrdokumenten så ser du att läraren i den ursprungliga artikeln gjorde helt rätt enligt dessa. Det är det som kommer ut ur svensk skolforskning och därmed även från skolverket. Du har säkert gått grundskolan senare än mig, det är inte svårt jag gick hela grundskolan under lgr69, men detta har accelererat och tyvärr blivit värre med tiden och läroplanen från 11 är tyvärr inte kulmen på detta vad jag förstått och så ung att du gått grundskolan under denna tror jag inte...

[...]

Nu tror jag vi talar om lite olika saker. I artikeln kritiseras det faktum att eleverna först skall tänka själva och därefter får lära sig. Det är  ett fullt rimligt arbetssätt enligt mig, men det du beskrev var att lärarna inte alls berättade för eleverna hur man skulle göra. Om det nu är så är det absurt, men jag kan inte tro att det faktiskt är så att skolverket rekommenderar lärare att inte lära ut någon divisionsalgoritm över huvud taget.

Merparten av grundskolan jag gick i var under det nuvarande systemet (jag är född 2002, så det infördes när jag gick i tredje klass). Jag upplevde det som beskrivs i artikeln inte som ett problem, utan snarare som ett ganska bra sätt att få eleverna att förstå hur man kan utnyttja de metoder och algoritmer man sedan lärde sig.

Du har helt rätt i att det faktiskt inte är helt nödvändigt för grundskoleelever att på djupet förstå all matematik de lär sig. Min poäng var snarare att i alla fall viss underliggande förståelse kan göra det enklare att använda kunskaperna man lär sig. Din liknelse med receptet är rätt bra, men min poäng är att man inte alltid har receptet framför sig. Om man då vet att man inte brukar koka salladen gör man förmodligen inte det, även om man tycker sig komma ihåg att det stod något med koka och sallad i receptet. På samma sätt är det med plus minus tecknet vid lösning av $x^2=3$. Vet man varför man lägger till det är det förmodligen mindre sannolikhet att det smyger sig in när man löser $\sqrt{x}=3$, även om man kanske i stundens hetta kan få för sig att det skulle vara där.

Det var lite det jag menade med att man klarar sig någorlunda bra utan bevis inom geometrin. Jag tror inte att en grundskoleelev får det särskilt mycket lättare att använda klotets volym om han kan bevisa den, men inom geometri på högre nivå är bevis och resonemang givetvis lika viktigt som inom matematikens alla andra områden.

AlvinB, har du hoppat över minst fem klasser på ngt sett?

Micimacko skrev:

AlvinB, har du hoppat över minst fem klasser på ngt sett?

Nej, jag går mitt andra år på gymnasiet.

Jag kan dock erkänna att jag på fritiden läst lite mer matematik än andra i min ålder. :-)