Laplacian

$\frac{\partial }{\partial x}=\frac{\partial a}{\partial x}\frac{\partial }{\partial a}+\frac{\partial b}{\partial x}\frac{\partial }{\partial b}=a\frac{\partial }{\partial a} + b\frac{\partial }{\partial b}$

$\frac{\partial }{\partial y}=\frac{\partial a}{\partial y}\frac{\partial }{\partial a} + \frac{\partial b}{\partial y}\frac{\partial }{\partial b}=-b\frac{\partial }{\partial a} + a\frac{\partial }{\partial b}$

Så jag behöver inte räkna ut termerna eller hur? Och jag kan betrakta $(a,b)$ som funktioner av x och y??

Jag gav dig operatorerna $\frac{\partial }{\partial x}$ och $\frac{\partial }{\partial y}$ uttryckt i de nya variablerna a och b. Nu kan du göra samma sak för operatorerna $\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}$ och $\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}$.

Men jag kan inte komma vidare om jag inte förstår varför det blir som det blir. Om möjligt, kan vi utgå från endast $a$ och räkna ut $\displaystyle\frac{\partial}{\partial_x}$? Då blir det $\displaystyle\frac{\partial}{\partial_x}=\frac{\partial_a}{\partial_x} \cdot \frac{\partial}{\partial_a}$, men jag förstår inte hur vi får faktorn $\displaystyle \frac{{\partial}}{{\partial_a}}$...

Det är kedjeregeln

$\frac{\partial }{\partial x}=\frac{\partial a}{\partial x}\frac{\partial }{\partial a}+ \frac{\partial b}{\partial x}\frac{\partial }{\partial b}$. 

Du vill uttrycka Laplaceoperatorn i termer av de ny variablerna a och b. Dvs med utnyttjande av operatorerna $\frac{\partial }{\partial a}$ och $\frac{\partial }{\partial b}$.

Vad är problemet?

Jag skrev om koordinatssystemet så att vi har $f(a,b)$ där $a$ och $b$ är funktioner av $x$ och $y$. På så sätt förstår jag att det blir kedjeregeln. Men kan man ens utgå från denna omskrivningen?

Tillägg: 3 nov 2021 00:43

$\displaystyle \frac{\partial_f}{\partial_ x}=\frac{\partial_f}{\partial _a} \frac{\partial_a}{\partial _x}+ \frac{\partial_f}{\partial_ b}\frac{\partial_b}{\partial _x}$

Ja. Vad blir tex $\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}$ i de nya variablerna?

$\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}$ = ${\left(a\frac{\partial }{\partial a}+b\frac{\partial }{\partial b}\right)}^2$ = …

PATENTERAMERA skrev:

Ja. Vad blir tex $\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}$ i de nya variablerna?

$\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}$ = ${\left(a\frac{\partial }{\partial a}+b\frac{\partial }{\partial b}\right)}^2$ = …

Blir det inte produktregeln nu? Eller kan man kvadrera så som du ställde upp?

Tillägg: 4 nov 2021 22:42

Eller det kanske är samma sak

Jo, utveckla kvardraten och använd produktregeln.

Känns fel... eller?

${\left(a\frac{\partial }{\partial a}+b\frac{\partial }{\partial b}\right)}^2$ = $\left(a\frac{\partial }{\partial a}+b\frac{\partial }{\partial b}\right)$$\left(a\frac{\partial }{\partial a}+b\frac{\partial }{\partial b}\right)$ = …

PATENTERAMERA skrev:

${\left(a\frac{\partial }{\partial a}+b\frac{\partial }{\partial b}\right)}^2$ = $\left(a\frac{\partial }{\partial a}+b\frac{\partial }{\partial b}\right)$$\left(a\frac{\partial }{\partial a}+b\frac{\partial }{\partial b}\right)$ = …

Ja, precis. Men jag utgick inte från det sättet. Försökte med $\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial}{\partial x})$

Du kan inte byta $\frac{\partial }{\partial x}$ mot $\frac{\partial }{\partial a}$ helt plötsligt.

$\frac{\partial }{\partial x}\left(a\frac{\partial }{\partial a}\right)$ = $a\frac{\partial }{\partial a}+a\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial }{\partial a}$ = …

Soderstrom, det är inte tillåtet att ha fler trådar om samma uppgift så jag låser denna eftersom din andra tråd är mer aktiv. /Dracaena, moderator