Laplacetransformering, differentialekvation *redigerad

Hallåj! 

Då har vi ett tal här, "lös differentialekvationen", begynnelsevärden y(0) = 0, y'(0) = 0:



$$\begin{gathered} y\text{'}\text{'} - 2y\text{'} + y = t{e}^t\sin t \\ {s}^{2}L\left\{y\right\} - sy\left(0\right) - y\text{'}\left(0\right) - 2\left(sL\right\{y\} - y(0\left)\right) + L\left\{y\right\}= L\left\{t{e}^t\sin t\right\} \\ L\left\{y\right\}(s^{2 }-2s+1) = \frac{2(s-1)}{\left(\right(s-1)^2 + 1{)}^2} \\ L\left\{y\right\}= \frac{2(s-1)}{\left(\right(s-1)^2 + 1{)}^2} * \frac{1}{(s-1)(s-1)} = \frac{2}{(s^2 - 2s + 2{)}^2(s-1)} \\ \mathrm{Med} \mathrm{partialbråksuppdelning} \mathrm{får} \mathrm{jag}: \\ \mathrm{L}\left\{\mathrm{y}\right\}=-\frac{2(\mathrm{s}-1)}{({\mathrm{s}}^2+2\mathrm{s}+2)}--\frac{2(\mathrm{s}-1)}{({\mathrm{s}}^2+2\mathrm{s}+2{)}^2}+\frac{2}{(s-1)} \\ {\mathrm{L}}^{-1}\left\{\mathrm{y}\right\} = \mathrm{Här} \mathrm{tar} \det \mathrm{stopp}. \mathrm{Har} \mathrm{jag} \mathrm{gjort} \mathrm{rätt} \mathrm{hittils}, \mathrm{och} \mathrm{går} \det \mathrm{lösa} \mathrm{härifrån}? \\ \mathrm{Tack}! \end{gathered}$$

* Jag redigerade uträkningen eftersom jag först hade skrivit av fel.