Laplacetransform med tre faktorer/integral av komplexvärd funktion

Hej, jag försöker lösa en laplacetransform men får inte rätsida på hur jag ska göra... Jag ska beräkna följade:

$\int t \times e^{t} \times \sin (4 t) d t$

Och jag har tänkt att jag ska använda följande formel för $e^{t} \times \sin (4 t)$ :

$\int e^{(a + i b) t} d t = \frac{1}{a + i b} e^{(a + i b) t} + C$

DVS

$\int t \times e^{t} \times \sin (4 t) d t = = / / e^{t} \times \sin (4 t) = e^{t} \times \cos (4 t) + i \times e^{t} \times \sin (4 t) = e^{(1 + 4 i) t} / / = = \int t \times e^{(1 + 4 i) t} d t$

Och därifrån beräkna med partialintegration

$\int t \times e^{(1 + 4 i) t} d t = \frac{t \times e^{(1 + 4 i) t}}{1 + 4 i} \int e^{(1 + 4 i) t} d t = \frac{t \times e^{(1 + 4 i) t}}{1 + 4 i} \times \frac{e^{(1 + 4 i) t}}{1 + 4 i} + C$

Vilket är fel... Då svaret ska vara

$e^{t} \cos (4 t) (- \frac{4 t}{17} + \frac{8}{289}) + e^{t} \sin (4 t) (\frac{t}{17} + \frac{15}{289}) + C$

Vad är det du ska Laplace-transformera? Måste du utföra integrationen eller får du använda dig av en tabell?

Hej jag ska beräkna den första funktionen jag skrev. Jag ska utföra hela integrationen själv.

Uppgiften är från ett delkapitel av Laplacetransformer som heter "integral av komplexvärd funktion" om det hjälper något.

Ok, jag blir bara lite konfunderad för att i definitionen för Laplacetransformen har vi $e^{-st}$ i integranden men jag ser inget sådant i din integral.

Vidare är det lite otydligt när de komplexa talen introduceras här. Om du vill använda Eulers formel så ska du skriva $\sin(4t) = \frac{e^{4it} - e^{-4it}}{2i}$ . Då blir din integrand $\frac{1}{2i}te^{t}e^{4it} - \frac{1}{2i}te^{t}e^{-4it} = \frac{1}{2i}te^{(1+4i)t} - \frac{1}{2i}te^{(1-4i)t}$ , d.v.s. vi får två termer.

EDIT: Nu fattar jag vad du skrivit... Du vill helt enkelt bara beräkna $\int t e^t \sin (4t)dt$ och i stället för att direkt beräkna integralen ska du utföra tricket att du beräknar $\int [t e^t \cos (4t) + i t e^t \sin (4t)]dt$ för att sedan ta imaginärdelen. Då kan du ignorera mina kommentarer!

Du måste ta Imaginärdelen av ditt resultat.

Din partialintegration är fel.

Skriv sedan om ditt resultat genom att förlänga med konjugatet.

Jag har gjort denna uppgift med rätt svar..Du får göra partiell integration på t×e^(1+4i)t

Freewheeling skrev:
EDIT: Nu fattar jag vad du skrivit... Du vill helt enkelt bara beräkna $\int t e^t \sin (4t)dt$ och i stället för att direkt beräkna integralen ska du utföra tricket att du beräknar $\int [t e^t \cos (4t) + i t e^t \sin (4t)]dt$ för att sedan ta imaginärdelen. Då kan du ignorera mina kommentarer!

Ah det är ju så jag tänkt fast jag tänkte att jag behövde förenkla det till denna formen istället $\int t \times e^{(1 + 4 i) t} d t$ för att sedan kunna utföra partialintegration och sedan lösa det. Men det blir bara helt fel.

Så jag kommer inte vidare från där... Vet inte alls hur jag ska tänka eller lösa det tyvärr...

Axel72 skrev:
Jag har gjort denna uppgift med rätt svar..Du får göra partiell integration på t×e^(1+4i)t

Okej tack, då har jag tänkt rätt. Får bara inte till partiella integrationen på rätt sätt.

Visa spoiler

Skriv ditt dolda innehåll här

klockan123 skrev:
Okej tack, då har jag tänkt rätt. Får bara inte till partiella integrationen på rätt sätt.

Wikipedia: Partialintegration

klockan123 skrev:
Ah det är ju så jag tänkt fast jag tänkte att jag behövde förenkla det till denna formen istället $\int t \times e^{(1 + 4 i) t} d t$ för att sedan kunna utföra partialintegration och sedan lösa det. Men det blir bara helt fel.
Så jag kommer inte vidare från där... Vet inte alls hur jag ska tänka eller lösa det tyvärr...

Du verkar bl.a. ha multiplicerat med den nya integralen man får i stället för att subtrahera den, samt att du skrivit fel integrand i den nya integralen. Partialintegrationen kan utföras så här:

Visa spoiler

$\int t e^{(1+4i)t} dt = t \frac{e^{(1+4i)t}}{1+4i} - \int \frac{e^{(1+4i)t}}{1+4i} dt = t \frac{e^{(1+4i)t}}{1+4i} - [\frac{e^{(1+4i)t}}{(1+4i)^2} + C]$

Svara

Visa senaste svar