Laplacetransform

Dessa problem är tagna ur boken Laplace och z-transform (Bergström och Snaar) kapitel 2.

Problemen här nedan går ut på att man ska transformera från tidsdomän till laplaceform. Jag har svårt att förstå mellanstegen för att komma fram till svaren. Jag beskriver här hur jag tolkar mellanstegen med hur e och dess exponent multipliceras ihop och hålles isär för att underlätta val av formel. Kan någon visa hur dessa ska göras steg för steg? I slutet på varje rad har jag skrivit ut svaret enligt facit.

$e^{- 0, 5 (t - 3)} \cdot σ (t - 3) = e^{- 0, 5 t} \cdot e^{- x} \cdot . . . \supset \frac{1}{s + 0, 5} \cdot e^{- 3 s}$

$e^{- 0, 5 (t - 3)} \cdot σ (t) = e^{- 0, 5 t} \cdot e^{1, 5} \cdot σ (t) \supset e^{1, 5} \cdot \frac{1}{s + 0, 5} = \frac{e^{1, 5}}{s + 0, 5}$

$e^{- 0, 5 t} \cdot σ (t - 3) = e^{- 0, 5 \cdot 3} \cdot e^{- 0, 5 t} \cdot σ (t - 3) \supset e^{- 1, 5} \cdot \frac{1}{s + 0, 5} \cdot e^{- 3 s} = \frac{e^{- 1, 5}}{s + 0, 5} \cdot e^{- 3 s}$

2,10 d) i Laplace och z-transform.

$i (t) = 4 \sin (2 t) \cdot (σ (t) - σ (t - \frac{π}{2})) \supset \frac{8}{s^{2} + 4} (1 - \frac{1}{s} \cdot e^{- \frac{π}{2} s}) e n l i g t_f a c i t_s k a_d e t_b l i_p l u s_i_p a r e n t e s e n, h u r_v e t_j a g_i n t e : \frac{8}{s^{2} + 4} (1 + \frac{1}{s} \cdot e^{- \frac{π}{2} s})$

Fråga 1:

Använd tidsförskjutningsegenskapen:

$\mathcal{L}\{f(t-a)\sigma(t-a)\}=e^{-as}\cdot\mathcal{L}\{f(t)\}$

vilket ger:

$\mathcal{L}\{e^{-0,5(t-3)}\cdot\sigma\left(t-3\right)\}=e^{-3s}\cdot\mathcal{L}\{e^{-0,5t}\}=\dfrac{e^{-3s}}{s+0,5}$

Fråga 2:

Här går det inte att använda tidsförskjutningsegenskapen eftersom vi har $\sigma(t)$ och inte $\sigma(t-3)$ . Däremot kan vi använda oss av det faktum att multiplikation $\sigma(t)$ inte förändrar funktionen på intervallet $t\geq0$ . Då får vi:

$\mathcal{L}\{e^{-0,5(t-3)}\cdot\sigma\left(t\right)\}=\mathcal{L}\{e^{-0,5(t-3)}\}=\mathcal{L}\{e^{-0,5t+1,5}\}=e^{1,5}\cdot\mathcal{L}\{e^{-0,5t}\}=\dfrac{e^{1,5}}{s+0,5}$

Jag har inte tid att kika på de andra två just nu. Kan ta mig en titt imorgon om ingen annan hinner före.

Svara