9 svar
270 visningar
Daniel B behöver inte mer hjälp
Daniel B 40
Postad: 2 dec 2018 22:22

Laplace transform

Uppgiften är hämtad ur Laplace och z-transformer av Lars Bergström och Bertil Snaar, sidan 50, Övn 2.3 c)

Bestäm laplacetransformen för funktionen

g(t)=(t-2)3·σ(t)

Svaret blir enligt facit

6-12s+12s2-8s3s4

Jag vet inte hur jag ska börja med detta, vilken formel eller metod? Jag har försökt med binomial och fakultet utan framgång.

AlvinB 4014
Postad: 2 dec 2018 22:40

Hur definieras funktionen sigma av t?

Daniel B 40
Postad: 2 dec 2018 23:07

Definitionen för stegfunktionen är:

 σ(t)=0 fört<01 fört0

Laplacetransformen för den samma är:

Lσ(t)=1s

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 2 dec 2018 23:38 Redigerad: 2 dec 2018 23:40

Laplacetransformen för funktionen g:g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} är funktionen G:[0,)G:[0,\infty)\to\mathbb{R} där 

    G(s)=e-stg(t)dt=t=0e-st(t-2)3dt=u=-2e-s(u+2)u3du=e-2s-2e-suu3du\displaystyle G(s) = \int_{\mathbb{R}}e^{-st} g(t)\,dt = \int_{t=0}^{\infty} e^{-st} (t-2)^3 \, dt = \int_{u=-2}^{\infty}e^{-s(u+2)}u^3 \, du = e^{-2s}\int_{-2}^{\infty}e^{-su}u^3\,du

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 2 dec 2018 23:45 Redigerad: 2 dec 2018 23:46

Upprepade partialintegrationer ger att

    -2e-suu3du=-2e2ss4·(4s3-6s2+6s-3)\displaystyle\int_{-2}^{\infty}e^{-su}u^3\, du = -\frac{2e^{2s}}{s^4} \cdot (4s^3-6s^2+6s-3)

så att den sökta Laplacetransformen är 

    G(s)=-2s4(4s3-6s2+6s-3)=6-12s+12s2-8s3s4\displaystyle G(s) = -\frac{2}{s^4}(4s^3-6s^2+6s-3) = \frac{6-12s+12s^2-8s^3}{s^4}.

AlvinB 4014
Postad: 3 dec 2018 09:14 Redigerad: 3 dec 2018 09:15

Ett annat tillvägagångssätt är att veckla ut parentesen med binomialsatsen:

(t-2)3·σt=(t3-6t2+12t-8)·σt(t-2)^3\cdot\sigma\left(t\right)=(t^3-6t^2+12t-8)\cdot\sigma\left(t\right)

Därefter kan man använda sig av den gamla vanliga regeln för heltalspotenser av tt:

{tn}=n!sn+1\mathcal{L}\{t^n\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}}

och få:

{t-23·σt}=3!s4-6·2!s3+12·1s2-8·1s=\mathcal{L}\{\left(t-2\right)^3\cdot\sigma\left(t\right)\}=\dfrac{3!}{s^4}-6\cdot\dfrac{2!}{s^3}+12\cdot\dfrac{1}{s^2}-8\cdot\dfrac{1}{s}=

=6s4-12ss4+12s2s4-8s3s=s-12s+12s2-8s3s4=\dfrac{6}{s^4}-\dfrac{12s}{s^4}+\dfrac{12s^2}{s^4}-\dfrac{8s^3}{s}=\dfrac{s-12s+12s^2-8s^3}{s^4}

Daniel B 40
Postad: 4 dec 2018 00:14

Tack för att ni hjälpte mig med uppgiften, nu är den helt klar för mig. För att komplettera lite på slutet så är minsta gemensamma nämnare s4, och det ensamma s:et i sista steget ska vara 6 eftersom täljaren för termen inte behöver kompenseras då nämnaren redan är s4.

AlvinB 4014
Postad: 4 dec 2018 09:18
Daniel B skrev:

Tack för att ni hjälpte mig med uppgiften, nu är den helt klar för mig. För att komplettera lite på slutet så är minsta gemensamma nämnare s4, och det ensamma s:et i sista steget ska vara 6 eftersom täljaren för termen inte behöver kompenseras då nämnaren redan är s4.

Just det ja, det skall vara 66 istället för ss. Bra att du märkte det!

Daniel B 40
Postad: 4 dec 2018 23:41

Skulle jag kunna få hjälp med uppföljande uppgift också dvs 2,3 d?

Bestäm laplacetransformen för funktionen

k(t)=(t-2)3·σ(t-2)

 

Enligt läroboken så multiplicerar man på fördröjningarna på termerna bara, men så enkelt verkar det inte vara när svaret blir så kort. I så fall skulle det se ut som följande:

6s4·e-2s -12ss4·e-2s+12s2s4·e-2s-8s3s4·e-2s

Den har ett fördröjningstillägg som påverkar svaret från föregående uppgift 2,3 c. Det verkar som att termer med s i täljaren försvinner, dvs om jag gjort rätt i ovanstående steg? men jag finner inget som säger att det är regeln.

Svaret enligt facit är 6s4·e-2s

AlvinB 4014
Postad: 5 dec 2018 07:41 Redigerad: 5 dec 2018 08:13

Då skulle jag helt enkelt använda mig av tidsförskjutningsegenskapen (det är kanske det du menar med fördöjningstillägg?):

{f(t-a)σ(t-a)}=e-as·{f(t)}\mathcal{L}\{f(t-a)\sigma(t-a)\}=e^{-as}\cdot\mathcal{L}\{f(t)\}

Det ger att:

{(t-2)3σ(t-2)}=e-2s·{t3}\mathcal{L}\{(t-2)^3\sigma(t-2)\}=e^{-2s}\cdot\mathcal{L}\{t^3\}

Svara
Close