Laplace transform

Hur definieras funktionen sigma av t?

Definitionen för stegfunktionen är:

 $\sigma \left(t\right)=\left\{\begin{array}{ll}0för& t<0\\ 1för& t\ge 0\end{array}\right.$

Laplacetransformen för den samma är:

$\mathcal{L}\left\{\sigma \left(t\right)\right\}=\frac{1}{s}$

Laplacetransformen för funktionen $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ är funktionen $G:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ där 

    $\displaystyle G(s) = \int_{\mathbb{R}}e^{-st} g(t)\,dt = \int_{t=0}^{\infty} e^{-st} (t-2)^3 \, dt = \int_{u=-2}^{\infty}e^{-s(u+2)}u^3 \, du = e^{-2s}\int_{-2}^{\infty}e^{-su}u^3\,du$. 

Upprepade partialintegrationer ger att

    $\displaystyle\int_{-2}^{\infty}e^{-su}u^3\, du = -\frac{2e^{2s}}{s^4} \cdot (4s^3-6s^2+6s-3)$

så att den sökta Laplacetransformen är 

    $\displaystyle G(s) = -\frac{2}{s^4}(4s^3-6s^2+6s-3) = \frac{6-12s+12s^2-8s^3}{s^4}$.

Ett annat tillvägagångssätt är att veckla ut parentesen med binomialsatsen:

$(t-2)^3\cdot\sigma\left(t\right)=(t^3-6t^2+12t-8)\cdot\sigma\left(t\right)$

Därefter kan man använda sig av den gamla vanliga regeln för heltalspotenser av $t$:

$\mathcal{L}\{t^n\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}}$

och få:

$\mathcal{L}\{\left(t-2\right)^3\cdot\sigma\left(t\right)\}=\dfrac{3!}{s^4}-6\cdot\dfrac{2!}{s^3}+12\cdot\dfrac{1}{s^2}-8\cdot\dfrac{1}{s}=$

$=\dfrac{6}{s^4}-\dfrac{12s}{s^4}+\dfrac{12s^2}{s^4}-\dfrac{8s^3}{s}=\dfrac{s-12s+12s^2-8s^3}{s^4}$

Tack för att ni hjälpte mig med uppgiften, nu är den helt klar för mig. För att komplettera lite på slutet så är minsta gemensamma nämnare $s^4$, och det ensamma s:et i sista steget ska vara 6 eftersom täljaren för termen inte behöver kompenseras då nämnaren redan är $s^4$.

Daniel B skrev:

Tack för att ni hjälpte mig med uppgiften, nu är den helt klar för mig. För att komplettera lite på slutet så är minsta gemensamma nämnare $s^4$, och det ensamma s:et i sista steget ska vara 6 eftersom täljaren för termen inte behöver kompenseras då nämnaren redan är $s^4$.

Just det ja, det skall vara $6$ istället för $s$. Bra att du märkte det!

Skulle jag kunna få hjälp med uppföljande uppgift också dvs 2,3 d?

Bestäm laplacetransformen för funktionen

$k\left(t\right)=(t-2{)}^3·\sigma (t-2)$

Enligt läroboken så multiplicerar man på fördröjningarna på termerna bara, men så enkelt verkar det inte vara när svaret blir så kort. I så fall skulle det se ut som följande:

$\frac{6}{s^4}·e^{-2s}-\frac{12s}{s^4}·e^{-2s}+\frac{12s^2}{s^4}·e^{-2s}-\frac{8s^3}{s^4}·e^{-2s}$

Den har ett fördröjningstillägg som påverkar svaret från föregående uppgift 2,3 c. Det verkar som att termer med s i täljaren försvinner, dvs om jag gjort rätt i ovanstående steg? men jag finner inget som säger att det är regeln.

Svaret enligt facit är $\frac{6}{s^4}·e^{-2s}$

Då skulle jag helt enkelt använda mig av tidsförskjutningsegenskapen (det är kanske det du menar med fördöjningstillägg?):

$\mathcal{L}\{f(t-a)\sigma(t-a)\}=e^{-as}\cdot\mathcal{L}\{f(t)\}$

Det ger att:

$\mathcal{L}\{(t-2)^3\sigma(t-2)\}=e^{-2s}\cdot\mathcal{L}\{t^3\}$