Laplace-ekvationen i polära koordinater

Hej! Jag har lite problem med att förstå det andra steget i att härleda Laplace-ekvationen i polära koordinater, som är ett "difficult but important example" enligt min lärobok. Just nu försöker jag förstå utifrån denna härledning: https://www.math.ucdavis.edu/~saito/courses/21C.w11/polar-lap.pdf Första steget hänger jag med på, att räkna ut de partiella derivatorna med avseende på r och theta, men det är andra deriveringen jag inte riktigt förstår. Först får vi att

$\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial u}{\partial x}\cdot cos\theta + \frac{\partial u}{\partial y}\cdot rsin \theta$

När jag ska derivera en andra gång med avseende på r är jag dock osäker på hur jag ska behandla $\frac{\partial u}{\partial x}$ respektive $\frac{\partial u}{\partial y}$ . Hur appliceras kedjeregeln på dessa derivator? Skulle kunna tänka mig att de beror på r och theta men i övrigt är jag ganska lost vart jag ska börja.

Du kan sätta $\frac{\partial u}{\partial x}=g(x(r,\theta), y(r,\theta))$ , då blir det kanske lättare för dig att se hur det blir?

$\frac{\partial g}{\partial r}=\frac{\partial g}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial g}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r}$

Tycker förövrigt att det exempel du hänvisar till krånglar till det, men vad man är bekväm med är ju väldigt individuellt.

Nu förstår jag hur det hänger ihop! Behövde nog räkna en del på kedjeregeln för att förstå det. Tack för tipset, det hjälpte!

Svara