Längdskala och areaskala

Hela triangelns area = arean som är skuggad + arean som inte är skuggad

Arean som inte är skuggad är också en triangel. Hur stor är höjden i den jämfört med hela triangelns höjd? Och hur stor är basen i den jämfört med hela triangelns bas?

Använd likformighet för att svara på de frågorna, så kan du sedan uttrycka den ickeskuggade arean som andel av hela triangelns area.

SvanteR skrev:

Hela triangelns area = arean som är skuggad + arean som inte är skuggad

Arean som inte är skuggad är också en triangel. Hur stor är höjden i den jämfört med hela triangelns höjd? Och hur stor är basen i den jämfört med hela triangelns bas?

Använd likformighet för att svara på de frågorna, så kan du sedan uttrycka den ickeskuggade arean som andel av hela triangelns area.

Jag förstår vad du menar med likformighet och att man ska lösa höjden och basen i de olika trianglarna, men jag förstår inte hur jag ska få fram höjden eller basen i trianglarna?  Jag har väl inga siffror att gå på? 

Du behöver inte höjder och baser för att lösa uppgiften.

Den större vita triangeln har en sida som 2/3 av motsvarande sida hos hela triangeln.

Det räcker för att bestämma motsvarande areaskala, sedan det skuggade området som andel av hela triangelns area och slutligen sistnämnda area.

Louis skrev:

Du behöver inte höjder och baser för att lösa uppgiften.

Den större vita triangeln har en sida som 2/3 av motsvarande sida hos hela triangeln.

Det räcker för att bestämma motsvarande areaskala, sedan det skuggade området som andel av hela triangelns area och slutligen sistnämnda area.

Menar du att man ska tänka 80cm² + 2/3cm² ? För att få hela areaskalan alltså?

Nej, areaskalan är kvadraten på längdskalan, alltså 4/9.

Den större vita triangelns area är 4/9 av hela triangelns area.

Hur stor del är då det skuggade området av hela triangeln?

Louis skrev:

Nej, areaskalan är kvadraten på längdskalan, alltså 4/9.

Den större vita triangelns area är 4/9 av hela triangelns area.

Hur stor del är då det skuggade området av hela triangeln?

Hur får du att den vita delen av triangeln är 4/9 delar? nu hänger jag inte med alls..

Är du med på att längdskalan är 2/3?

(x+x/x+x+x)

Alla längder i den större vita tringeln förhåller sig till motsvarande längder i hela triangeln som 2 till 3. Eftersom de är likformiga.

Areorna förhåller sig som kvadraten på längdskalan: 4 till 9.

Tänk på en kvadrat som du delar i fyra mindre kvadrater.

Längdskala 1/2, areaskala 1/4.

Eller tänk på två trianglar där den ena har dubbla längder mot den andra.
Det betyder att både bas och höjd är dubblade.
När du beräknar b*h/2 blir resultatet 4 gånger så stor area för den större triangeln.

Louis skrev:

Är du med på att längdskalan är 2/3?

(x+x/x+x+x)

Alla längder i den större vita tringeln förhåller sig till motsvarande längder i hela triangeln som 2 till 3. Eftersom de är likformiga.

Areorna förhåller sig som kvadraten på längdskalan: 4 till 9.

Tänk på en kvadrat som du delar i fyra mindre kvadrater.

Längdskala 1/2, areaskala 1/4.

Eller tänk på två trianglar där den ena har dubbla längder mot den andra.
Det betyder att både bas och höjd är dubblade.
När du beräknar b*h/2 blir resultatet 4 gånger så stor area för den större triangeln.

Jaha, så du tänker att längdskalan på den vita triangeln är (2/3²⁾= areaskala= 4/9 ? För att svara på din fråga och ta reda på det skuggade området så är väl den 5/9? 

Ska jag sedan lösa nån form av ekvation? typ 5/9 + 4/9= 80cm² ?

5/9 + 4/9 = 1.

Men att skuggade området är 5/9 av hela triangeln (A) är rätt.

Så 5A/9 =80.

Louis skrev:

5/9 + 4/9 = 1.

Men att skuggade området är 5/9 av hela triangeln (A) är rätt.

Så 5A/9 =80.

Precis, men hur tar jag mig vidare? Om 5/9 = 80 och vi ska veta vad arean är för resterande 4/9. 

80 + 4/9??

5/9 av hela triangelns area är 80 cm². Det är hela arean A som ska beräknas.

$\frac{5}{9}A$ =80

A= 9*80/5

Louis skrev:

5/9 av hela triangelns area är 80 cm². Det är hela arean A som ska beräknas.

$\frac{5}{9}A$ =80

A= 9*80/5

Skulle du kunna förklara vad A betyder där i ekvationen som du löser? Jag är lnte riktigt med på varför du tar 5/9 multiplicerat med area. 

Är du med på att 5/9 av hela (den största) triangelns area är det skuggade området som är 80 cm²?

A är hela triangelns area, det som efterfrågas.

5A/9 = 80 är översättningen av första meningen till en ekvation.

Löser du den får du A = 144. Hela triangelns area är 144 cm². Det verkar väl rimligt om vi tittar på figuren.

Vi kan räkna åt andra hållet. 5/9 av 144 = 80.

Louis skrev:

Är du med på att 5/9 av hela (den största) triangelns area är det skuggade området som är 80 cm²?

A är hela triangelns area, det som efterfrågas.

5A/9 = 80 är översättningen av första meningen till en ekvation.

Löser du den får du A = 144. Hela triangelns area är 144 cm². Det verkar väl rimligt om vi tittar på figuren.

Vi kan räkna åt andra hållet. 5/9 av 144 = 80.

Japp, det är jag med på. Så du menar att du multiplicerar den gråa delen 5/9 med resterande del som är A, hela triangelns area, för att få det som efterfrågas?

Jag hade för mig hela tiden att man skulle fokusera på den andra bråkdelen 4/9, den vita topp triangeln, eftersom det var ju den man inte visste arean på. 

För varför jag tyckte det var svårt att förstå var att det lät lite orimligt att man multiplicerar in en del av en area med triangelns hela area. Det låter som att man liksom beräknar Arean på triangeln + 80cm2. Jag menar att svaret skulle bli för mycket. Du kanske inte förstår hur jag menar. Men helt enkelt att area gånger area var väldigt nytt för mig. 

Nej, jag har svårt att förstå hur du menar, och därför kanske jag också pratar förbi dig.

Det handlar inte om area gånger area. 5/9 är inte en area utan rätt och slätt ett bråktal. Och 80 cm² är en del av hela triangeln (inte något man räknar plus triangeln), närmare bestämt just 5/9 av den arean.

Jag ska se om jag kan skriva in något i figuren för att göra det lättare.

Jag tror jag gör så här i stället.
Vi har tre trianglar som är likformiga med varandra.
Säg att den minsta (högst upp) har basen b och höjden h.
Då har nästa triangel basen 2b och höjden 2h (likformigheten).
Och hela den stora triangeln basen 3b och höjden 3h.
Areorna blir bh/2, 4bh/2 och 9bh/2 (här visar vi att areaskalan är kvadraten på längdskalan).
Det skuggade området blir 5bh/2 (skillnaden mellan hela triangeln och den näst största).
Det betyder att det skuggade området förhåller sig till hela triangeln som 5:9.
Om då är vi tillbaka till att 5/9 av A = 80 cm².

Om du vill kan du sätta 5bh/2 = 80.

bh/2 = 16.

Hela triangeln är 9bh/2 = 9*16 = 144.

T är arean av topptriangeln.
De tre trianglarna har areorna T, 4T, 9T.
Det följer av att areaskalan är kvadraten på längdskalan. Längderna förhåller sig ju som x:2x:3x eller 1:2:3
Det skuggade området har arean 5T.

5T = 80
T = 16
A = 9T = 9*16 = 144

Eller:
$\frac{5}{9}$A = 80
A = $\frac{9}{5}$*80
A = 144

Eller:

Fem niondelar av hela triangelns area är 80 cm².

En niondel är då 80/5 cm² = 16 cm^2.

Hela arean är 9*16 cm² = 144 cm².

När du förklarade med bilden och det senaste du skrev nu så förstod jag tillslut. Jag ska alltså bara komma ihåg att ta kvadraten på längdskalan för att kunna börja beräkna ut arean. Det borde va enkelt när man börjar förstå sig på det.

Tack för så tydlig förklaring och tack för hjälpen!