Längdkontraktion

Har du hört om taylorutvecklingen?

(https://sv.wikipedia.org/wiki/Taylorserie)

Taylorpolynomet för $\sqrt{1-x}$ vid x=0 är $1 - \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} - \frac{x^3}{16} - ...$

Om x är litet kan vi försumma alla termer utom x/2.

(https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=Taylor+Sqrt%5B1-x%5D)

Finns det inget annat sätt att tänka?

Du kan också tänka baklänges: 

${(1 - \frac{x}{2})}^2 = 1 - x + \frac{x^2}{4}$

Om x är väldigt litet, kan man försumma x²/4. 

$$\begin{gathered} {(1-\frac{x}{2})}^2 \approx 1 - x \\ 1 - \frac{x}{2} \approx \sqrt{1-x} \end{gathered}$$

Du kan testa det med en kalkylator eller Excel:

$$\begin{gathered} \sqrt{0,9} = 0,9487 \\ \sqrt{0,99} = 0,994987 \\ \sqrt{0,999} = 0,99949987 \end{gathered}$$

Vart kom x/2 ifrån

Jag ville bevisa att $1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \approx \frac{v^2}{2c^2}$

v²/c² kallade jag x :

Att bevisa:

$$\begin{gathered} 1 - \sqrt{1-x} \approx \frac{x}{2} \\ dvs \\ 1-\frac{x}{2} \approx \sqrt{1-x} \end{gathered}$$