längden av kurvan

Hej!

Pythagoras sats ger

    $\text{d}s = \sqrt{(\text{d}x)^2+(\text{d}y)^2}$

och med parameteriseringarna $x(t)$ och $y(t)$ kan man skriva

    $\text{d}x(t) = x'(t)\text{d}t$ och $\text{d}y(t) = y'(t)\text{d}t$

vilket ger

    $\text{d}s(t) = \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\,\text{d}t$

och kurvans längd blir

    $\int_{t=2}^{7}\text{d}s(t) = \int_{t=2}^{7}\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\,\text{d}t\ .$

Med parameteriseringen $x(t) = t$ och $y(t) = \ln (t+\sqrt{t^2-1})$ får man derivatorna

    $x'(t) = 1$

och

    $y'(t) = \frac{1}{t+\sqrt{t^2-1}} \cdot (1+\frac{t}{\sqrt{t^2-1}}) = \frac{1}{\sqrt{t^2-1}}$

vilka ger kurvans längd

    $\int_{t=2}^{7}\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\,\text{d}t = \int_{t=2}^{7}\sqrt{1+\frac{1}{t^2-1}}\,\text{d}t = \int_{2}^{7}\frac{t}{\sqrt{t^2-1}}\,\text{d}t$

eftersom

    $\sqrt{1+\frac{1}{t^2-1}} = \sqrt{\frac{t^2-1+1}{t^2-1}} = \sqrt{\frac{t^2}{t^2-1}}\ .$

Albiki

okej då är jag med på allt förutom hur dom får gränserna 48 och 3 efter att man bytt till variabeln s=t^2-1

Sätt in t=2 så får du att nya undre gränsen är $2^2-1=3$ och att den övre är $7^2-1=48$.

hur vet man att man ska sätt just t=2 och varför ska vi kvadrera och sedan subtrahera med 1? måste vara något jag missat när jag gjorde uppgiften.

$s=t^2-1$

ger med nedre gräns t=2 att s blir 3
och med  övre  gräns t=7 att s blir 48

Hej!

För att beräkna integralen $\int_{2}^{7}\frac{t}{\sqrt{t^2-1}}\,\text{d}t$ noterar jag att derivatan

    $\frac{d\sqrt{t^2-1}}{\text{d}t} = \frac{t}{\sqrt{t^2-1}}$

vilket betyder att integralen kan skrivas

    $\int_{t=2}^{7}\text{d}\sqrt{t^2-1} = \sqrt{7^2-1}-\sqrt{2^2-1} = \sqrt{48}-1\ ,$

så att kurvans längd är lika med $4\sqrt{3}-1\ .$

Albiki

Hej!

Svaret ska förstås vara $\sqrt{7^2-1}-\sqrt{2^2-1} = \sqrt{48}-\sqrt{3}$ så att kurvans längd är lika med $3\sqrt{3}\ ;$ Jag läste $\sqrt{2^2-1}$ som $\sqrt{2-1}\ .$

Albiki