längden av en kurva med integral

Välkommen till Pluggakuten! Bra början! Nu kan du kvadrera derivatan: 

${\left(f\text{'}\left(x\right)\right)}^2={\left(\left(\frac{1}{2x}\right)-\left(\frac{2x}{4}\right)\right)}^2=\left(\frac{1}{4x^2}-\frac{1}{2}+\frac{x^2}{4}\right)$

Addera ett till kvadraten, och förenkla. Ser du något sätt att dra roten ur summan? :)

Smutstvätt skrev:

Välkommen till Pluggakuten! Bra början! Nu kan du kvadrera derivatan: 

${\left(f\text{'}\left(x\right)\right)}^2={\left(\left(\frac{1}{2x}\right)-\left(\frac{2x}{4}\right)\right)}^2=\left(\frac{1}{4x^2}-\frac{1}{2}+\frac{x^2}{4}\right)$

Addera ett till kvadraten, och förenkla. Ser du något sätt att dra roten ur summan? :)

Tack! Förstod inte exakt vad du försökte säga. Menar du att jag ska kvadrera en gång till på det som du redan har skrivit upp eller vill du att jag förenklar det du skrivit upp. Det vill säga förenkla $(\frac{1}{4x^2}-\frac{1}{2}+\frac{x^2}{4})$ så att det blir $\left(\frac{x^4-2x^2+1}{4x^2}\right)$. 

Är det dit jag ska komma, och sen därefter $1+\left(\frac{x^4-2x^2+1}{4x^2}\right) = \frac{4x^2}{4x^2}+\frac{x^4-2x^2+1}{4x^2} = \frac{4x^{2 + }{x}^4-2x^2+1}{4x^2} = \frac{x^4+2x^2+1}{4x^2}$

och sen dra roten ut??

I formeln tar de derivatan i kvadrat. Du har hittat derivatan $f'(x)=\frac{1}{2x}-\frac{2x}{4}$, och när vi sätter in den i formeln behöver vi ha den kvadrerad. Därför kvadrerar vi derivatan, och sedan gör vi precis som du skrivit här: 

34UDITOR3 skrev:

 sen därefter $1+\left(\frac{x^4-2x^2+1}{4x^2}\right) = \frac{4x^2}{4x^2}+\frac{x^4-2x^2+1}{4x^2} = \frac{4x^{2 + }{x}^4-2x^2+1}{4x^2} = \frac{x^4+2x^2+1}{4x^2}$ och sen dra roten ut??

Då har vi fått tag på funktionsuttrycket $\sqrt{1+(f\text{'}{\left(x\right))}^2}$, och det är detta uttryck som ska integreras i intervallet 1 till e. :)

Smutstvätt skrev:

I formeln tar de derivatan i kvadrat. Du har hittat derivatan $f'(x)=\frac{1}{2x}-\frac{2x}{4}$, och när vi sätter in den i formeln behöver vi ha den kvadrerad. Därför kvadrerar vi derivatan, och sedan gör vi precis som du skrivit här: 

34UDITOR3 skrev:

 sen därefter $1+\left(\frac{x^4-2x^2+1}{4x^2}\right) = \frac{4x^2}{4x^2}+\frac{x^4-2x^2+1}{4x^2} = \frac{4x^{2 + }{x}^4-2x^2+1}{4x^2} = \frac{x^4+2x^2+1}{4x^2}$ och sen dra roten ut??

Då har vi fått tag på funktionsuttrycket $\sqrt{1+(f\text{'}{\left(x\right))}^2}$, och det är detta uttryck som ska integreras i intervallet 1 till e. :)

Hur hittar man primitiva funktionen till sådana uttryck? Har inte jobbat med det här området i matte 5, så har inte gjort liknande uppgifter tidigare på den här nivån.

Det vi behöver göra är att försöka förenkla bort rotuttrycket. Vi kan ta täljaren $x^4+2x^2+1$ och göra ett tillfälligt variabelbyte till $t=x^2$, så att vi får uttrycket $t^2+2t+1$, som vi kan faktorisera. När vi hittat en faktorisering kan vi byta tillbaka till x, och då kommer det att gå att dra roten ur uttrycket. :)

Smutstvätt skrev:

Det vi behöver göra är att försöka förenkla bort rotuttrycket. Vi kan ta täljaren $x^4+2x^2+1$ och göra ett tillfälligt variabelbyte till $t=x^2$, så att vi får uttrycket $t^2+2t+1$, som vi kan faktorisera. När vi hittat en faktorisering kan vi byta tillbaka till x, och då kommer det att gå att dra roten ur uttrycket. :)

Tack så mycket! Förstod vad du menade, klarade av den.

Vad bra, varsågod! :)