Lång fråga om glödlampor och väntevärden

För en grupp med k lampor:

vad är sannolikheten för att det behövs 1 mätning?

vad är sannolikheten för att det behövs k + 1 mätningar?

Dr. G skrev:

För en grupp med k lampor:

vad är sannolikheten för att det behövs 1 mätning?

vad är sannolikheten för att det behövs k + 1 mätningar?

 (1-p)^k att en mätning behövs förmodar jag, och sedan är väl sannolikheten (1-p)^k-1*p att k+1 behövs

(1 - p)^k att 1 mätning behövs.

Den andra varianten är komplementhändelsen, så sannolikheten är ...

Hänger inte med helt nu haha, andra varianten?

Jaha nej nu kanske jag förstår. Du menar 1*(1-p)^k + (k+1)*(1-(1-p)^k) något sånt

För en grupp med k lampor är

sannolikheten för 1 mätning (1 - p)^k 

sannolikheten för k + 1 mätningar 1 - (1 - p)^k

Väntevärdet för antalet mätningar på en grupp med k lampor blir då ...

Att mäta på n oberoende grupper medför multiplikation med n.

Du kan då räkna ut E[Y].

Jag ser nu i efterhand att det du har skrivit i senaste inlägget är väntevärdet av antalet mätningar på en grupp med k lampor.

Så mitt svar *n ?

minst4 skrev:

Så mitt svar *n ?

Ditt svar gånger n blir E[X]. 

E[Y] = ...

Jaha, just det X/nk. Tackar

Hej!

Låt $X_{i}$ beteckna antalet prövningar som utförs på grupp nummer $i.$ Denna slumpvariabel har väntevärdet

    $\displaystyle\mathbb{E}\{X_{i}\} = 1\cdot (1-p)^{k} + k \cdot (1-(1-p)^{k})$.

Samtliga $n$ stycken grupper har samma väntevärde, vilket ger väntevärdet för det totala antalet prövningar

    $$\displaystyle\mathbb{E}\{X\} = \mathbb{E}\{X_{1}\} + \mathbb{E}\{X_{2}\} + \cdots + \mathbb{E}\{X_{n}\}=n\cdot ((1-p)^{k} + k(1-(1-p)^{k})).$$

Om enskilda enheter är ganska slitstarka (så att $p = 0.05$) så kan man förvänta sig att det totala antalet prövningar är

    $\mathbb{E}\{X\} =\displaystyle n(0.95^{k}+k(1-0.95^{k}))$

och då blir det förväntade antalet prövningar mer enhet lika med 

    $$\displaystyle\frac{1}{nk}\mathbb{E}\{X\} = \frac{1}{nk} \cdot n(0.95^{k}+k(1-0.95^{k}))=\frac{1}{k}\cdot(0.95^{k}+k(1-0.95^{k})).$$

Jag ritar upp denna funktion i Desmos och grafen visar ett globalt minimum någonstans kring $k = 5$ och att grafen växer asymptotiskt mot värdet $1.$ Det betyder att det är fördelaktigt att använda den föreslagna kvalitetskontrollen oavsett vad $k$ är; det är som mest fördelaktigt om $k \approx 5.$