Lösning av system av diffekvationer med egenfrekvenser

Hej!

Jag behöver egentligen inte hjälp med uppgiften ovan i sig, den är mest för att ge ett sammanhang. I uppgiften har jag kommit fram till ett system av differentialekvationer och skulle behöva hjälp med att reda ut lite allmänna begrepp och lösningsmetoder.

Jag får diffekvationen

$M \ddot{q} + V q = 0$

där M och V är matriser och q är en vektor med två komponenter $q_{1}$ och $q_{2}$ .

Jag har tagit fram systemets egenfrekvenser genom att ansätta $q = w e^{i ω t}$ , där w är en vektor med amplituderna till q, och lösa den karakteristiska ekvationen. Man kan även få egenfrekvenserna genom att ta fram egenvärdena till $- M^{- 1} V$ (kommer från att $\ddot{q} = - M^{- 1} V q$ ), där egenvärdena är egenfrekvensen i kvadrat.

Nu vet jag dock inte hur jag skall ta fram den allmänna lösningen. Jag kan ta fram egenvektorerna till $- M^{- 1} V$ och vill skriva lösningen på formen

$q = a v_{1} e^{i ω (1) t} + b v_{2} e^{i ω (2) t}$ ,

där $v_{1}$ och $v_{2}$ är egenvektorerna, $ω (1)$ och $ω (2)$ är egenvärdena. Det verkar vara så de gör i facit till denna uppgift, och det är detta är jag osäker på.

Jag tycker det är rimligt om man enligt den första ansättningen får homogenlösningen

$q = c e^{i ω (1) t} + b e^{i ω (2) t}$ ,

Men hur kommer det sig att vi kan skriva $c = a v_{1}$ och $d = b v_{2}$ ? Jag vet att lösningen till ett system av differentialekvationer kan skrivas i termer av egenvärden och egenvektorer, men om $ω (1)$ och $ω (2)$ är roten ur egenvärdena, hur kommer i in i exponenten?

Jag ber om ursäkt om det är rörigt, jag utvecklar gärna om det är otydligt. Det kan förstås även vara så att jag misstolkat facit (det är bara ett svar utan förklaring). Min huvudfråga är väl egentligen:

På vilket sätt skall jag ta fram normalmoderna till systemet, och varför?

Edit: Råkade posta innan jag skrivit färdigt, har även ändrat rubriken för att passa innehållet i posten bättre.

pixisdot skrev:
Nu vet jag dock inte hur jag skall ta fram den allmänna lösningen. Jag kan ta fram egenvektorerna till $- M^{- 1} V$ och vill skriva lösningen på formen
$q = a v_{1} e^{i ω (1) t} + b v_{2} e^{i ω (2) t}$ ,
där $v_{1}$ och $v_{2}$ är egenvektorerna, $ω (1)$ och $ω (2)$ är egenvärdena. Det verkar vara så de gör i facit till denna uppgift, och det är detta är jag osäker på.
Jag tycker det är rimligt om man enligt den första ansättningen får homogenlösningen
$q = c e^{i ω (1) t} + b e^{i ω (2) t}$ ,
Men hur kommer det sig att vi kan skriva $c = a v_{1}$ och $d = b v_{2}$ ?

Detta är linjär algebra och analysmatematik. Jag skulle råda dig att läsa dessa länkar:

Eigenvalues and Eigenvectors (Specifikt avsnitt [5])

Method of Eigenvalues and Eigenvectors

Jag vet att lösningen till ett system av differentialekvationer kan skrivas i termer av egenvärden och egenvektorer, men om $ω (1)$ och $ω (2)$ är roten ur egenvärdena, hur kommer i in i exponenten?

Eftersom det är en harmonisk oscillator är lösningen för den karakteristiska ekvationen komplex. $ω (1)$ och $ω (2)$ är dina egenfrekvenser och dyker upp i tidigare nämnda lösningar.

På vilket sätt skall jag ta fram normalmoderna till systemet, och varför?

Kolla denna video från ca 4 minuter. Där har de ett enkelt system av kopplade harmoniska oscillatorer och hittar två normalmoder. En där de svänger tillsammans och en där de svänger i motfas. Normalmoderna är vad som beskriver rörelsen hos systemets komponenter relativt varandra och det är intressant att hitta dem för att förstå hur systemet rör sig.

Normalmodes - Eigenvectors (video)

Hej!

Om matrisen $M$ är inverterbar så kan systemet skrivas

$\displaystyle\ddot{q}+Aq=0$

där $A=M^{-1}V$ . Om matrisen $A$ är diagonaliserbar kan den skrivas $A = WDW^{-1}$ där $D$ är en diagonalmatris och $W$ är en ortogonal matris så att systemet blir

$\displaystyle\ddot{q}+WDW^{-1}q=0\iff \ddot{p}+Dp=0$

där $p=W^{-1}q$ . Vitsen med detta är att det ursprungliga komplicerade systemet av kopplade differentialekvationer transformerats till ett lätthanterligt system av icke-kopplade differentialekvationer.

När du väl har fått fram lösningsvektorn $p$ får du lösningen $q$ som en linjärkombination av elementen i $p$ , nämligen som

$\displaystyle q=Wp$ .

Om $p=\begin{pmatrix}p_1\\p_2\end{pmatrix}$ och $W=\begin{pmatrix}w_{11}&w_{12}\\w_{21}&w_{22}\end{pmatrix}$ så blir den sökta lösningen

$\begin{pmatrix}q_1\\q_2\end{pmatrix} = Wp=\begin{pmatrix}w_{11}p_1+w_{12}p_2\\w_{21}p_1+w_{22}p_2\end{pmatrix}$

det vill säga

$q_1(t) = w_{11}p_1(t)+w_{12}p_2(t)$

och

$q_2(t) = w_{21}p_1(t)+w_{22}p_2(t)$ .

Igår lyckades jag inte posta en kommentar, men idag borde det funka. Jag vill bara tacka för att ni tog er tid att svara, båda era svar hjälpte mig att förstå vad som hände och jag har nu löst uppgiften och analyserat lösningsmetoden :)

Svara

Visa senaste svar