Lagranges medelvärdessats

Låt $f$ vara en reellvärd icke-konstant funktion som är kontinuerlig på det slutna intervallet $[a,b]$ och deriverbar på det öppna intervallet $(a,b).$ Då finns det ett tal ( $c$ ) någonstans i det inre av $[a,b]$ sådant att

$f(b)-f(a) = f^'(c)(b-a).$

Bevis av Lagranges medelvärdessats.

Funktionen g är reellvärd och icke-konstant som är kontinuerlig på det slutna intervallet [a,b] och deriverbar på det öppna intervallet (a,b).

$g(x) = f(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot (x-a).$

Dessutom är funktionen sådan att $g(a) = g(b).$ Enligt Rolles sats finns det då ett tal ( $c$ ) någonstans i det inre av $[a,b]$ sådant att

$g^'(c) = 0.$

Derivatan är

$g^'(x) = f^'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

och situationen $g^'(c) = 0$ är samma sak som

$f^'(c)(b-a) = f(b) - f(a),$

vilket skulle bevisas.

Svara