Lagranges restterm-kontinuitet

Hej!

Har sökt runt lite, men hittar inget svar. Lagranges restterm vid en MacLaurinutveckling ges ju av $\frac{f^{(n + 1)} (θ x)}{(n + 1)!} x^{n + 1}$ . Det jag undrar är om resttermen kommer att vara kontinuerlig i en omgivning kring x=0. Har ingen riktig intution för det eftersom theta som beror av x ställer till det.

Edit: När jag funderar lite mer på det inser jag ju att resttermen är differensen mellan en funktion f(x) och ett maclaurinpolynom. Då borde ju resttermen vara kontinuerlig om f är kontinuerlig, stämmer det?

Funktionen $f$ måste ju vara oändligt många gånger deriverbar för att Maclaurinpolynom av godtycklig grad ska kunna konstrueras och eftersom deriverbarhet medför kontinuitet så måste $f$ vara kontinuerlig. Polynomfunktioner är kontinuerliga och differens av kontinuerliga funktioner är en kontinuerlig funktion så Ja, resttermen är en kontinuerlig funktion; den är även oändligt många gånger deriverbar eftersom $f$ är det och polynomfunktioner är det.

Just det, f är ju alltid kontinuerlig. Tack för den påminnelsen. Men när du säger att resttermen är deriverbar, hur kan du veta det utan att veta något om deriverbarheten hos $θ (x)$ ?

Svara