Lagrange, min och max. Skillnad?

Välkommen till Pluggakuten!

Lagrange gjorde så mycket. Syftar du på Lagrangepunkt, Lagranges restterm, Lagranges identitet, Lagrangemultiplikator, Lagranges ekvationer eller Lagranges sats, bara för att ta dem som har egna artiklar på svenska Wikipedia, eller något annat?

Jag förstår inte vad det står under punkt 1 och 2. Ska det läsas som nåt fint formaterat block av text? Kan du skriva det mer läsbart med formelskrivaren, eller lägga in en bild? Betyder "s.t." "such that"? 

Förlåt för att jag var otydlig. Det gäller Lagrangemultiplikator och att beräkna kvoten. 

Snälla, lägg bilden på rätt håll så att det går att läsa den utan att slå knut på sig! /moderator

Är det inte bara att du hittar en möjlig extrempunkt med metoden, men måste kontrollera själv om det är maximum eller minimum eller nåt annat? Här är det maximum du har hittat, men minimum finns i ändarna av linjestycket (om det håller sig i första kvadranten).

Hej!

Du vill bestämma det största värde som funktionen $g(x,y) = xy$ kan anta där punkten $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ uppfyller bivillkoret $x^2+y^2 = 1.$

• Utan hjälp av Lagrangemultiplikator kan man notera att

        $(x-y)^2 = x^2+y^2-2xy = 1 - 2xy \geq 0 \iff xy \leq 0.5$,

    där likhet uppstår precis då $x = y$, vilket med bivillkoret betyder 

    att $x=y=1/\sqrt{2}$ eller $x=y=-1/\sqrt{2}$. 

• Metoden med Lagrangemultiplikator ska ge samma resultat. Detta är bra att känna till!

Om du vill använda Lagranges metod bildar du Lagrangefunktionen

    $L(x,y,\lambda) = f(x,y) - \lambda\cdot(x^2+y^2-1)$

där punkten $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ och multiplikatorn $\lambda \in \mathbb{R}$. 

Om $(x,y)$ är en lokal extrempunkt till funktionen $f$ så är punkten $(x,y,\lambda)$ en lokal extrempunkt till Lagrangefunktionen. Då är Lagrangefunktionens gradient lika med nollvektorn i $\mathbb{R}^3.$ 

    $\nabla L = \mathbf{0} \iff \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \,och\, \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \,och\, \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0.$

För funktionen $f(x,y)=xy$ får man de partiella derivatorna

    $\frac{\partial L}{\partial x} = y-2\lambda x$

och

    $\frac{\partial L}{\partial y} = x - 2\lambda y$

vilka ger ekvationerna

    $y/x = 2\lambda = x/y$.

Om $(x,y)$ är en lokal extrempunkt till funktionen $f$ så måste det tydligen gälla att $x^2=y^2$. För att det ska vara en lokal extrempunkt som dessutom uppfyller bivillkoret medför det det ytterligare kravet att

    $2x^2 = 1$. 

Tack för ett mycket utförligt svar. Känner mig mycket klokare nu!