Lagrange ekvation
Hej, jag har en uppgift där man ska hitta differentialekvationen för familjen av alla räta linjer i planet med polära koordinater.
Som jag förstår det får vi de polära koordinaterna av
och sedan ska detta uppfylla ekvationen
men jag förstår inte riktigt hur man ska göra
Du har att kurvans längd S kan skrivas
S = .
S är min om kurvan är en rät linje. Extremvärden för S erhålles med hjälp av Euler-Lagranges ekvationer. Du får två ekvationer - en för och en för . Försök att hitta en allmän lösning till dessa.
Ja jag är med på att S är min om det är en rät linje men just det steget jag fastnat på är att jag förstår inte riktigt hur man ska få ekvationerna för r och . Ska man derivera det som står under roten?
Jag tror problemet, om möjligt, blir lättare om vi istället ser som en funktion av r. Vi kan då skriva
.
Vi har då ekvationen
. Och eftersom L inte beror explicit på kan detta direkt integreras till
(konstant).
Säg till om du inte kommer vidare.
jag förstår inte hur man ska få ut r från
och varför kan vi skriva som
om vi ser som en funktion av r?
Det finns två möjliga angreppssätt eftersom vi kan välja om vi ska bryta ut eller ur
Alternativ 1:
Alternativ 2:
Det visar sig att Alternativ 2 ger mycket enklare räkningar eftersom vilket betyder att
Kvadrera båda led, multiplicera med nämnaren, isolera
Dra roten ur båda led.
ska man alltså få och sedan
sedan kan vi flytta över r termen till VL och vi får och tar vi roten ur får vi
Jag hänger inte riktigt med på vad du gör. Kvadrerar vi båda led samt multiplicerar upp nämnaren får vi:
Drar vi roten ur båda led får vi
En alternativ och kanske vanligare form av samma uttryck () är
Edit: korrigerade ett förfluget
Jroth, jag tror r4 plötsligt blev r2 på ett ställe.
PATENTERAMERA skrev:Jroth, jag tror r4 plötsligt blev r2 på ett ställe.
Ja, jag såg det, men jag hoppas det är korrigerat sedan en tid tillbaka :)
Ett tips. Jroths ekvation kan tex lösas medelst variabelseparation.
Men som en förberedande övning så tycker jag du skall ta fram derivatan till arcsin(1/x).
i början av uppgiften har vi ju men varför får vi sedan
och inte i VL?
Ska man sedan lösa ut r ur
eftersom vi måste ha ett värde på r också för att lösa uppgiften fullständigt
Som Jroth sa så kan längden av ett mycket litet kurvstycke skrivas ds = . Och hela kurvans längd kan fås genom integrering
S = .
Det finns nu flera olika sätt angripa problemet.
1. Vi kan se som oberoende variabel och r som beroende variabel. ds = ,
och vi får då .
2. Vi kan se r som oberoende variabel och som beroende variabel. ds = ,
och vi får då .
3. Vi kan införa en parameter t som oberoende variabel. r och är då båda beroende variabler.
ds = , och vi får då
.
Sedan gäller det att välja ett alternativ som gör att problemet blir enkelt att lösa.
I det andra alternativet är en cyklisk variabel (dvs är inte med explicit i Lagrangefunktionen). Det göra att vi direkt kan integrera Euler-Lagranges ekvationer en gång så att vi får en diffekvation av lägre grad, vilken förhoppningsvis är enklare att lösa.
I alternativ 1, så är r inte en cyklisk variabel, så vi har inte samma fördel här.
I alternativ 3 så får vi två diffekvationer istället för en. Och det är vanligen enklare att lösa en ekvation än två kopplade ekvationer. Men notera att även här så är en cyklisk variabel, så en ekvation kan enkelt integreras.
Därför föreslog Jroth och jag att du skulle försöka med alternativ 2. Bara en diffekvation och en cyklisk variabel.