Lagrange ekvation

Du har att kurvans längd S kan skrivas

S = ${\int }_{t0}^{t1}\sqrt{{\dot{r}}^2+r^2{\dot{\phi }}^2}dt$.

S är min om kurvan är en rät linje. Extremvärden för S erhålles med hjälp av Euler-Lagranges ekvationer. Du får två ekvationer - en för $r$ och en för $\phi$. Försök att hitta en allmän lösning till dessa.

Ja jag är med på att S är min om det är en rät linje men just det steget jag fastnat på är att jag förstår inte riktigt hur man ska få ekvationerna för r och $\phi$.  Ska man derivera det som står under roten? 

Jag tror problemet, om möjligt, blir lättare om vi istället ser $\phi$ som en funktion av r. Vi kan då skriva

$S = {\int }_{r0}^{r1}L(r, \frac{d\phi }{dr})dr = {\int }_{r0}^{r1} \sqrt{1 +{\left(r\frac{d\phi }{dr}\right)}^2}dr$.

Vi har då ekvationen

$\frac{d}{dr}\left(\frac{\partial L}{\partial \left({\displaystyle \frac{d\phi }{dr}}\right)}\right) = \frac{\partial L}{\partial \phi }$. Och eftersom L inte beror explicit på $\phi$ kan detta direkt integreras till

$\frac{\partial L}{\partial \left({\displaystyle \frac{d\phi }{dr}}\right)} = c$ (konstant).

Säg till om du inte kommer vidare.

jag förstår inte hur man ska få ut r från $\frac{\partial L}{\partial \left({\displaystyle \frac{\partial \phi }{\partial r}}\right)}=c$

och varför kan vi skriva ${\int }_{t_0}^{t_1}\sqrt{{\dot{r}}^2+r^2{\dot{\phi }}^2}$som ${\int }_{r0}^{r1}L\left(r,\frac{d\phi }{dr}\right)dr$

om vi ser $\phi$som en funktion av r?

Det finns två möjliga angreppssätt eftersom vi kan välja om vi ska bryta ut $\mathrm{d}r$ eller $\mathrm{d}\varphi$ ur $\mathrm{d}s$

$\mathrm{d}s=\sqrt{(\mathrm{d}r)^2+(r\mathrm{d}\varphi)^2}$

Alternativ 1: $\mathrm{d}s=\mathrm{d}\varphi\sqrt{\dot{r}^2+r^2}$

Alternativ 2: $\mathrm{d}s=\mathrm{d}r\sqrt{1+r^2\dot{\varphi}^2}$

Det visar sig att Alternativ 2 ger mycket enklare räkningar eftersom $\frac{\partial L}{\partial \varphi}=0$ vilket betyder att

$\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}}=\frac{r^2\dot{\varphi}}{\sqrt{1+r^2\dot{\varphi}^2}}=C$

Kvadrera båda led, multiplicera med nämnaren, isolera $\dot{\varphi}^2$

Dra roten ur båda led.

ska man alltså få $\frac{{\left(r^2{\dot{\phi }}^2\right)}^2}{1+r^2{\phi }^2}=c^2$och sedan $r^2{\dot{\phi }}^2=c^2$

sedan kan vi flytta över r termen till VL och vi får ${\dot{\phi }}^2=c^2-r^2$och tar vi roten ur får vi $\pm \dot{\phi }=c\pm r$

Jag hänger inte riktigt med på vad du gör. Kvadrerar vi båda led samt multiplicerar upp nämnaren får vi:

$(r^2\dot{\varphi})^2=c^2(1+r^2\dot{\varphi}^2)$

$\dot{\varphi}^2(r^4-c^2r^2)=c^2$

$\dot{\varphi}^2=\frac{c^2}{r^4-c^2r^2}$

Drar vi roten ur båda led får vi

$\dot{\varphi}=\frac{c}{r\sqrt{r^2-c^2}}$

En alternativ och kanske vanligare form av samma uttryck ($\dot{\varphi}=\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}r}$) är

$\displaystyle c\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\varphi}=r\sqrt{r^2-c^2}$

Edit: korrigerade ett förfluget $r^2$

Jroth, jag tror r⁴ plötsligt blev r² på ett ställe.

PATENTERAMERA skrev:

Jroth, jag tror r⁴ plötsligt blev r² på ett ställe.

Ja, jag såg det, men jag hoppas det är korrigerat sedan en tid tillbaka :)

Ett tips. Jroths ekvation kan tex lösas medelst variabelseparation.

Men som en förberedande övning så tycker jag du skall ta fram derivatan till arcsin(1/x).

i början av uppgiften har vi ju $\sqrt{{\dot{r}}^2+r^2{\dot{\phi }}^2}$men varför får vi sedan ${\left(r^2\dot{\phi }\right)}^2=c^2\left(1+r^2{\dot{\phi }}^2\right)$

och inte ${\left(r^2{\dot{\phi }}^2\right)}^2$i VL?

Ska man sedan lösa ut r ur $\dot{\phi }=\frac{c}{r\sqrt{r^2-c^2}}$

eftersom vi måste ha ett värde på r också för att lösa uppgiften fullständigt

Som Jroth sa så kan längden av ett mycket litet kurvstycke skrivas ds = $\sqrt{{\left(dr\right)}^2+r^2{\left(d\phi \right)}^2}$. Och hela kurvans längd kan fås genom integrering

S = $\int ds$.

Det finns nu flera olika sätt angripa problemet.

1. Vi kan se $\phi$ som oberoende variabel och r som beroende variabel. ds = $\sqrt{{\left(\frac{dr}{d\phi }\right)}^2+r^2} d\phi$,

och vi får då $S = {\int }_{\phi 0}^{\phi 1}L\left(r, \frac{dr}{d\phi }\right)d\phi = {\int }_{\phi 0}^{\phi 1}\sqrt{r^2+{\left(\frac{dr}{d\phi }\right)}^2}d\phi$.

2. Vi kan se r som oberoende variabel och $\phi$ som beroende variabel. ds = $\sqrt{1+r^2{\left(\frac{d\phi }{dr}\right)}^2}dr$,

och vi får då $S ={\int }_{r0}^{r1}L\left(\frac{d\phi }{dr}, r\right)dr = {\int }_{r0}^{r1}\sqrt{1+r^2{\left(\frac{d\phi }{dr}\right)}^2}dr$.

3. Vi kan införa en parameter t som oberoende variabel. r och $\phi$ är då båda beroende variabler.

ds = $\sqrt{{\left(\frac{dr}{dt}\right)}^2+r^2{\left(\frac{d\phi }{dt}\right)}^2}dt$, och vi får då

$S = {\int }_{t0}^{t1}L\left(r, \frac{dr}{dt}, \frac{d\phi }{dt}\right)dt = {\int }_{t0}^{t1}\sqrt{{\left(\frac{dr}{dt}\right)}^2+r^2{\left(\frac{d\phi }{dt}\right)}^2}dt$.

Sedan gäller det att välja ett alternativ som gör att problemet blir enkelt att lösa.

I det andra alternativet är $\phi$ en cyklisk variabel (dvs är inte med explicit i Lagrangefunktionen). Det göra att vi direkt kan integrera Euler-Lagranges ekvationer en gång så att vi får en diffekvation av lägre grad, vilken förhoppningsvis är enklare att lösa.

I alternativ 1, så är r inte en cyklisk variabel, så vi har inte samma fördel här.

I alternativ 3 så får vi två diffekvationer istället för en. Och det är vanligen enklare att lösa en ekvation än två kopplade ekvationer. Men notera att även här så är $\phi$ en cyklisk variabel, så en ekvation kan enkelt integreras.

Därför föreslog Jroth och jag att du skulle försöka med alternativ 2. Bara en diffekvation och en cyklisk variabel.