Lagrange

Hur använde du f och g när du räknade sedan? Det viktiga är att du håller koll på vilken funktion som ska anpassas (min/max) och vilken funktion som är ett krav. I detta fall vill vi minimera kvadratavståndet till kravet $x^2y=16$, så kvadratavståndet är funktionen som ska anpassas, och $x^2y=16$ är kravet. Om vi sedan kallar anpassningsfunktionen för f eller g, det spelar egentligen ingen roll – det är bara ett namn. :)

Smutstvätt skrev:

Hur använde du f och g när du räknade sedan?

Jag tog gradienten och satt den till 0, dvs $\nabla L(x,y,\lambda)=0$. Fick ett ekvationssystem som jag inte kunde lösa då den tredje ekvationen i ES blev $x^2+y^2$, detta eftersom jag hade valt fel ekvation till $g(x,y)$

Hmm, ja nej då blir det inte helt rätt. Jag vet inte om någon annan har något bra tips, för mitt enda är just att vara benhård på vilken funktion som ska anpassas och vilken som är kravställd. :/

Det som leder oss till extrempunkten är att

• funktionernas gradienter ska vara parallella i extrempunkten
• villkorsfunktionen ska vara uppfylld

I två dimensioner ger det första kravet två ekvationer. Det andra kravet ger oss 1 ekvation. Vi behöver just tre ekvationer eftersom vi har tre okända (2 koordinater $(x,y)$ och en okänd skalfaktor $\bar{\lambda}$). Ekvationerna ser ut så här:

$\nabla f = \bar{\lambda} \nabla g$  (2 ekvationer, gradienterna ska vara parallella)

$g=0$ (1 ekvation, villkoret måste vara uppfyllt)

Om vi byter tecken på den oväsentliga skalfaktorn $\bar{\lambda}=-\lambda$ ser vi att detta är samma sak som det tredimensionella systemet

$\nabla_{xy\lambda} (f+\lambda g) = 0$

Men det är viktigt att hålla ordning på vilken funktion som är villkorsfunktionen, eftersom det är just villkoret som ger oss den sista ekvationen när vi tar den partiella derivatan med avseende på $\lambda$, dvs $\frac{\partial L}{\partial \lambda }=g=0$. Skalfaktorn $\lambda$ ska alltså "sitta på" villkorsfunktionen, annars överlever ju inte rätt villkor (dvs $g=0$) den sista partiella deriveringen!

D4NIEL skrev:

Det som leder oss till extrempunkten är att

• funktionernas gradienter ska vara parallella i extrempunkten
• villkorsfunktionen ska vara uppfylld

I två dimensioner ger det första kravet två ekvationer. Det andra kravet ger oss 1 ekvation. Vi behöver just tre ekvationer eftersom vi har tre okända (2 koordinater $(x,y)$ och en okänd skalfaktor $\bar{\lambda}$). Ekvationerna ser ut så här:

$\nabla f = \bar{\lambda} \nabla g$  (2 ekvationer, gradienterna ska vara parallella)

$g=0$ (1 ekvation, villkoret måste vara uppfyllt)

Om vi byter tecken på den oväsentliga skalfaktorn $\bar{\lambda}=-\lambda$ ser vi att detta är samma sak som det tredimensionella systemet

$\nabla_{xy\lambda} (f+\lambda g) = 0$

Men det är viktigt att hålla ordning på vilken funktion som är villkorsfunktionen, eftersom det är just villkoret som ger oss den sista ekvationen när vi tar den partiella derivatan med avseende på $\lambda$, dvs $\frac{\partial L}{\partial \lambda }=g=0$. Skalfaktorn $\lambda$ ska alltså "sitta på" villkorsfunktionen, annars överlever ju inte rätt villkor (dvs $g=0$) den sista partiella deriveringen!

Tack för ett mycket utförligt svar! Problemet var just det att identifiera vilken som är villkorsfunktionen

I den här uppgiften ska du minimera avståndet, alltså är avståndsfunktionen den funktion du vill hitta ett max eller min till.

Samtidigt måste punkten du ska hitta ligga på kurvan $x^2y=16$ Alltså är villkoret för punkten $g=x^2y-16=0$

Om du försöker vända på det blir det svårt att få ihop det med uppgiftstextens formulering om att du vill hitta ett minsta avstånd från origo.

För att underlätta kan du ställa två frågor:

1. Söker man en extrempunkt, ska något maximeras eller minimeras? -> $f$
2. Finns det villkor punkten måste uppfylla, måste den ligga på en viss kurva t.ex? -> $g$

Slutligen gäller det vi pratat om tidigare, $\lambda$ "ska sitta på" villkorsfunktionen så villkoret "överlever" derivering:

$L=f+\lambda g$