Lägga till kurva å tillämpa Greens sats
Tänker jag rätt om jag tillämpar en kurva från (jag utgår från enhetscirkeln) att 0 -> A enligt min figur, är en kurva som jag döper till
och sedan lägger till en kurva
som är då
Men då har vi ju egentligen bildat en enhetscirkel, och det får vi ju inte göra, för då får vi singulariteter i vår funktion.
Så jag fastnar lite här.. Något tips?
Vi vill knyta ihop punkterna A och B med en eller flera kurvor/linjer som dels gör att vi undviker origo, och dels är lätta att beräkna kurvintegralen längs. I en av dina tidigare uppgifter användes en ellips, och din integrand här är ganska likartad den du hade i den uppgiften. Så en ellips skulle man kunna använda här också. Men den ellips som ger en enkel integral når kanske inte hela vägen från A till B, då får man skarva med ett segment av nåt annat.
Skaft skrev:Vi vill knyta ihop punkterna A och B med en eller flera kurvor/linjer som dels gör att vi undviker origo, och dels är lätta att beräkna kurvintegralen längs. I en av dina tidigare uppgifter användes en ellips, och din integrand här är ganska likartad den du hade i den uppgiften. Så en ellips skulle man kunna använda här också. Men den ellips som ger en enkel integral når kanske inte hela vägen från A till B, då får man skarva med ett segment av nåt annat.
Är det alltid så, att dom kurvor man lägger till ska paramatiseras?
Ja, att parametrisera är väl så att säga standardsättet att beräkna en kurvintegral. When in doubt, parametrisera =)
Integralen du börjar med kan faktiskt parametriseras på en gång (längs enhetscirkeln gäller ju x=cos(v), y=sin(v)), så Greens sats är inte nödvändig här. Men integralen man får då är inte jättelätt, och leder dessutom till lite insättningsproblem i slutet pga. diskontinuiteter i den primitiva funktionen. Det blir lite enklare att använda Greens sats, som delar upp problemet över ett par enklare kurvintegraler.
Det kan dock vara en bra övning att försöka lösa uppgiften både med/utan Green och se till att man får samma svar oavsett metod.
