L'Hopitals regel för att hitta f'(x) med derivatans definition
Hej! När jag söker derivatan av t.ex. f(x)=x4, får man limh→0((x+h)4-x4h)
Det här går så klart att lösa ut genom att faktorisera, men blir däremot väldigt stökigt, och det blir enligt mig lätt att slarva när man ska utveckla uttrycket.
Fick därför för mig att lösa ut detta med L'hopitals vilket blir lättare.
Undrar dock om det skulle vara tillåtet att använda sig av L'Hopitals på ett prov, om t.ex. frågan lyder "Visa hur man bestämmer f'(x) med derivatans definition om f(x)=X^4"
Tycker själv det känns som cirkulärt resonemang, men hur tror ni det skulle det bedömas av lärare?
Det är definitivt cirkulärt. Om vi ska bevisa vad derivatan av x4 är så kan vi inte använda derivatan i beviset.
Om det står att du ska använda derivatans definition så är det inte tillåtet att använda L'Hôpital. Om det däremot står (be)visa att derivatan existerar eller något i den stilen är det givetvis tillåtet!
EDIT: strök en sak som såklart inte stämmer. Jag tänkte tokigt (eller så har jag blivit för engineerpilled).
Tack för svaren!
Som tillägg till mitt inlägg:
Det är tillåtet att bevisa att ett gränsvärde existerar genom att använda L'Hôpital, givet att man då inte utnyttjar samma gränsvärde när man deriverar. Det är alltså inte cirkulärt i allmänhet att bevisa gränsvärdens existens med L'Hôpital, i motsats till vad många tycks tro. Man måste dock hålla tungan rätt i mun.
Ett klassiskt exempel på ett fall där det kanske inte är tillåtet (beroende på hur man definierar sinus) är:
limx→0sinxx
Detta eftersom derivatan av täljaren kräver att man redan kan gränsvärdet som ska bevisas!
Blir det så stökigt verkligen? Det räcker ju att konstatera att (x+h)4=x4+4x3h+ax2h2+bxh3+h4 där a och b är några tal som inte är 0. Pluggar man in det i det ursprungliga gränsvärdet och förenklar resulterar det i att du behöver räkna gränsvärdet av 4x3+ax2h+bxh2+h4 vilket blir 4x3 oavsett värde på a och b. Dvs, du behöver endast veta vad första och andra binomialkoefficienten är
