kvotregeln med täljare

Smith skrev :

Hej!

Om vi har en följande ekvation V(x) * L(x) / g(x)... hur deriverar man? För det blir krångligt om man använder kvotregeln väl?

Typ nåt i stil med (v(x)*l'(x) + l(x)*v'(x)) g'(x) / g(x)² 

det är fel.. jag får inte till det. Vad är regeln här? 

Kvotregeln lyder:

 Om f = k/h så är f' = (k'h - kh')/h^2.

I ditt fall kan du helt enkelt sätta att k = V*L.

Du får då att k' = V'L + VL' och kan sedan använda kvotregeln direkt.

Som vx och lx var typ 2x och x²

2x * 2x + 2*x² 

sedan kvotregeln där g(x) är 5x

4x² + 2x² = 6x² / 5x

(6x²*5 + 12x*5x) / (25x²).... då går de väl

men sen om v(x) är e upphöjt till 2x och l(x) 2x+5 och g(x) är x³ då blir det krångligt 

Smith skrev :

Som vx och lx var typ 2x och x²

 

2x * 2x + 2*x² 

sedan kvotregeln där g(x) är 5x

4x² + 2x² = 6x² / 5x

(6x²*5 + 12x*5x) / (25x²).... då går de väl

 

men sen om v(x) är e upphöjt till 2x och l(x) 2x+5 och g(x) är x³ då blir det krångligt 

Det är lite svårt att följa vad du skriver, men det verkar inte rätt.

Jag kan ge ett allmänt tips om hur du minskar risken för slarvfel. Det handlar om att försöka göra så få steg "i huvet" som möjligt. Då är det väldigt bra att göra en liten sammaställning av de ingående funktionsuttrycken och deras derivator. Sedan är det bara att "plocka ihop" dessa uttryck till det slutliga uttrycket för kvotens derivata.

Jag ger dig ett exempel:

Uppgift: Derivera $f\left(x\right)=\frac{\sin \left(x\right)}{x^2}$ 

Du ser att du ska använda kvotregeln:

Om $f\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)}{h\left(x\right)}$ så är $f\text{'}\left(x\right)=\frac{g\text{'}\left(x\right)h\left(x\right)-g\left(x\right)h\text{'}\left(x\right)}{{\left(h\left(x\right)\right)}^2}$

Gör nu en liten tabell som du kan använda för att plocka ihop uttrycket för f'(x):

$\left\{\begin{array}{ll}g\left(x\right)=\sin \left(x\right)& g\text{'}\left(x\right)=\cos \left(x\right)\\ h\left(x\right)=x^2& h\text{'}\left(x\right)=2x\end{array}\right.$

Nu är det bara att ta från tabellen och sätta in rätt uttryck på rätt plats i mallen $f\text{'}\left(x\right)=\frac{g\text{'}\left(x\right)h\left(x\right)-g\left(x\right)h\text{'}\left(x\right)}{{\left(h\left(x\right)\right)}^2}$:

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{\cos \left(x\right)·x^2-\sin \left(x\right)·2x}{{\left(x^2\right)}^2}=\frac{x·\left(x·\cos \left(x\right)-2·\sin \left(x\right)\right)}{x^4}$

Fast tänk om det står f(x)= ((2x+5)*(sinx))/(x)... vilken regel ska man använda här för att derivera? det blir ju krångligt med flera termer i täljaren. 

Smith skrev :

Fast tänk om det står f(x)= ((2x+5)*(sinx))/(x)... vilken regel ska man använda här för att derivera? det blir ju krångligt med flera termer i täljaren. 

Ja det blir lite mer krångligt, men inte så mycket. Då kan du kalla g(x) = (2x+5)*sin(x) så har du fortfarande din funktion på formen $f\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)}{h\left(x\right)}$ och du kan då skapa din tabell på samma sätt som tidigare. Den enda skillnaden är att du måste använda produktregeln för att fä fram uttrycket för g'(x):

$\left\{\begin{array}{ll}g\left(x\right)=(2x+5)·\sin \left(x\right)& g\text{'}\left(x\right)=2·\sin \left(x\right)+(2x+5)·\cos \left(x\right)\\ h\left(x\right)=x& h\text{'}\left(x\right)=1\end{array}\right.$

Nu är det bara att ta från tabellen och sätta in rätt uttryck på rätt plats i mallen:

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{g\text{'}\left(x\right)h\left(x\right)-g\left(x\right)h\text{'}\left(x\right)}{\left(h\right(x){)}^2}$

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{(2·\sin (x)+(2x+5)·\cos (x\left)\right)·x-(2x+5)·\sin \left(x\right)·1}{(x{)}^2}$

Och sedan förenkla ...

Okej det var smart!