kvotgrupper

Hej!

Om du kan finna en grupphomomorfism $\phi : \mathbf{Z}^*_{14} \to \mathbf{Z}^*_{14}$ vars kärna är lika med $N_1$ så är $N_1$ en normal delgrupp i $\mathbf{Z}^*_{14}$

    $\displaystyle \text{Ker}(\phi) = \{n \in \mathbf{Z}^*_{14} : \phi(n) = 1\}$ 

För att visa att det är normala delgrupper tycker jag att du ska tänka på att $\mathbb{Z}*_{14}$ är abelsk. Vad innebär detta för dess delgrupper?

$\mathbb{Z}*_{14} / \mathbb{N}_1$ är gruppen som bildas av sidoklasserna av $\mathbb{N}_1$ i $\mathbb{Z}*_{14}$. För att beräkna dessa behöver du först räkna ut alla elementen i $\mathbb{Z}*_{14}$. Sedan är det bara att beräkna sidoklasserna en och en, men tänk på att vilken som helst av elementen i sidoklasserna kan användas som representant för den, vilket innebär att inte alla element i $\mathbb{Z}_{14}$ ger upphov till nya sidoklasser. (Om man vill vara lite listig kan du tänka på om ni har lärt er något sätt som man kan bestämma ordningen av en kvotgrupp på och använda sig av det för att veta när man har hittat alla sidoklasserna.)

Vad gäller den sista frågan, vad är 3*11 kongruent med mod 14?

eftersom den är abelsk vet vi att den är stängd, assosiativ, har en invers och neutralt element.

Ska man alltså räkna ut ordningen 0(1) i ${{\mathrm{\mathbb{Z}}}^{*}}_{14}$ och sedan samma sak med 0(9) och 0(11) ?

3*11 mod 14 blir väl 5 men i 3N1 för vi ju 3*11=13

Kriterierna du skrev under abelsk är de som gäller för alla grupper. Abelska grupper är förutom det också kommutativa. Dvs $gh = hg$ för alla $g, h$ i gruppen. Kom ihåg nu att en normal delgrupp är en delgrupp där höger och vänster sidoklasser sammanfaller. Så om man har delgruppen $H$ i $G$ är en normal delgrupp en som uppfyller att $gH = Hg$ för alla $g \in G$. Kan du nu visa att alla delgrupper av en abelsk grupp måste vara normala?

För att beräkna alla sidoklasser behöver du först beräkna elementen i $\mathbb{Z}*_{14}$, vilket är alla tal från 1 till 13 som är relativt prima (har inga gemensamma delare med) 14. Sen beräknar du sidoklasser genom att ta varje element i $\mathbb{Z}*_{14}$ gånger $\mathbb{N}_1$.

Elementen i $3\mathbb{N}_1$ behöver inte komma i samma ordning som dom kom i från $\mathbb{N}_1$. Så 3*11 är det som blir 5 och 3*9 är det som blir 13.

edit: formattering

Om man multiplicerar med de element jag får i ${{\mathrm{\mathbb{Z}}}^{*}}_{14}$  som blir 1,3,5,9,11,13, får jag:

$\left\{1,9,11\right\}$

 $3\left\{1,9,11\right\}=\left\{3,13,5\right\}$

 $5\left\{1,9,11\right\}=\left\{5,3,13\right\}$

$9\left\{1,9,11\right\}=\left\{9,11,1\right\}$

$11\left\{1,9,11\right\}=\left\{11,1,9\right\}$

$13\left\{1,9,11\right\}=\left\{13,5,3\right\}$

Det jag har svårt att förstå är hur man ska veta att svaret bara ska bli $1N_1,3N_1$ varför inte någon av de andra elementen?

Det du måste tänka på är att det inte spelar någon roll vilken ordning elementen kommer i sidoklasserna. Har 2 sidoklasser samma element, oavsett ordning, är de samma sidoklass. Så $3\{1, 9, 11\} = 5\{1, 9, 11\} = 13\{1, 9, 11\}$, då de alla innehåller elementen 3, 5, 13, bara i olika ordning. På samma sätt är $1\{1, 9, 11\} = 9\{1, 9, 11\} = 11\{1, 9, 11\}$ då de alla innehåller elementen 1, 9, 11.  $1\{1, 9, 11\}$ och $9\{1,9,11\}$ är bara olika representationer av samma sidoklass. Så $1\mathbb{N}_1$ och $3\mathbb{N}_1$ är bara de enklaste representationerna av de två olika sidoklasser som finns.