kvotgrupp

I gruppen $\mathbb{Z}^{*}_{14}$ så finns enbart de tal som är relativt prim till 14. Så 2 ingår inte i gruppen.

För att få fram vilka element det är i kvotgruppen så behöver du bara gå igenom de som inte är redan i någon "left-coset". Så du har först att $N_1$ är en, sedan ingår inte 3 i denna, då har du $3N_1$. Nu har du använt dig av alla 6 element som finns i $\mathbb{Z}^*_{14}$ så då är du klar.

då förstår jag den delen, sedan skulle man även göra en cayleytabell och då förstår jag inte varför man får att $3N_2*3N_2=5N_2$

Du har att $3N_2 \cdot 3N_2 = (3\cdot 3)N_2 = 9N_2$. Notera nu att $9\cdot 13 \equiv 5\text{ (mod 14)}$, så du har att $9N_2 = \lbrace 9, 5\rbrace = 5N_2$.

Därför gäller det att du får $5N_2$.

jag förstår att vi får $9N_2$ men varför 9*13?

Du har ju att $9 \cdot \lbrace 1, 13 \rbrace = \lbrace 9, 9\cdot 13 \rbrace = \lbrace 9, 5 \rbrace = 5N_2$.