Kvadrering av formler

Först och främst så finns massor av formler där storheter där man tar andra potenser än 2. Exempelvis i Stefan Boltzmann's lag tar man (absolut) temperatur upphöjd till 4. $P = \sigma P^2$. Dock så är det en korrekt observation att kvadratiskt samband är vanliga, men det finns ingen enstaka förklaring utan är en kombination av att flera olika effekter kan ge upphov till detta. 

1. De flesta fysikaliska samband börjar som linjära samband då de är enklast att upptäcka och definiera och kvadratiska samband uppstår när man tar produkter av linjära samband.

Ta effektlagen med spänning och resistans $P = RI^2$. Detta innehåller en kvadrat men följer av två linjära samband; effektlagen $P = UI$ och Ohms lag $U = RI$. Sätter man in Ohms lag i effektlagen får man $P = UI = (RI)I = R I^2$

2. Kvadratiska formler är ofta approximationer av med komplicerade formler. Det finns en matematisk sats som kallas för Taylors sats (alternativt Maclaurins sats) om att många funktioner kan beskrivas som summor av monom (potenser). Exempelvis 

$e^x = 1 + x + x^2 /2 + x^3 / 6 + x^4 / 24 + ...$

En följd är att många funktioner kan approximeras av att man slänger bort de högre termerna och lämnar de lägre. Ex:

$e^x -1 \approx x$

Det kan vara så att "det verkliga" sambandet i en situation egentligen är väldigt komplicerade men att vi endast upptäckt en formels första term; den kvadratiska, men saknar de högre.. Relationen mellan relativitetsteori och klassisk mekanik kan till en viss grad beskrivas på detta vis. 

3. Många formler är bara samma formel i olika skepnader. Hastighet i kvadrat $v^2$ dyker upp hela tiden i mekaniken. I rörelseenergi, i bernouilles formel, i centripetalaccelleration; men alla dessa är egentligen bara olika former av samma underliggande samband. Alla kan i princip härledas från varandra. 

Det var rätt så, mycket mer än jag förväntade mig, att få som svar. 

Jätte tack!

Blev något fel när jag skrev in Stefan Boltzmanns lag. Ska vara $P = \sigma T^4$