kvadrerbar mängd

Oj, fy. Antar att du läser på Chalmers och har Böiers bok? Jag lider med dig oavsett; svensk litteratur för flervariabelanalys är horribel. 

Din fråga rör integrerbarhet och det är inte nödvändigt att förstå i detalj dessa försvenskade begrepp. En kvadrerbar mängd är helt enkelt ett område som kan delas upp i infinitesimala rektanglar. Det är lite svårt att illustrera en icke-kvadrerbar mängd då ironiskt nog i princip samtliga som kan ritas upp är kvadrerbara (vilket gör hela definitionen relativt meningslös). En icke-kvadrerbar mängd är exempelvis mängden {alla primtal}. Mer exakt har vi:

Ett område i ${\mathrm{ℝ}}^2/{\mathrm{ℝ}}^3$ är kvadrerbart om dess rand är en nollmängd, dvs kan täckas av rektanglar/rätblock av godtyckligt liten sammanlagd area/volym. För att förstå detta mer noggrant kan du försöka minnas hur du bygger upp dina infinitesimala element, se bild nedan.

Så, naturligtvis om vi ska kunna utföra en trippelintegral över att område måste vi kunna dela upp en volym i ett antal godtyckligt små (infinitesimala) rätblock. Om vi inte kan det kan vi naturligtvis inte beräkna någon integral.

Här kan du läsa lite:

http://courses.mai.liu.se/GU/TATA43/Dokument/lecture10.pdf

Ebola skrev:

En icke-kvadrerbar mängd är exempelvis mängden {alla primtal}.

Stämmer detta verkligen? Primtalen (jag väljer att beteckna dem $\mathbb{P}$) har väl ändå $\mathbb{P}$ som rand eftersom de är slutna med tomt inre (det finns inga öppna delmängder, därför är det inre tomt), och eftersom primtalen $\mathbb{P}$ är uppräkneliga måste de vara en nollmängd. Detta resonemang tyder väl på att $\mathbb{P}$ visst är en kvadrerbar mängd?

Det är något knasigt (med en själv) när man frågar sig vad kvadrerbar är för term(???), googlar begreppet, och toppresultatet är ett inlägg som man själv skrev för tre år sedan...

https://gamla.pluggakuten.se/forumserver/viewtopic.php?id=122845

Analogin jag använde där var i mina ögon rätt duglig, så kan läsa den. (Handlade, i planet, om huruvida tillräckligt högupplösta bilder av mängden återger dem korrekt eller ej)

De formella begreppen kräver egentligen att man har lite erfarenhet med topologi och måttteori för att de ska klicka helt då man rent abstrakt kan tala om att icke-kvadrerbara exempelmängder enklast kan konstrueras från mängder som är täta på ett eller annat sätt, exempelvis de rationella talen på tallinjen för ett 1D-fall. Så länge det man jobbar med är kontinuerligt och slätt så är alla mängder alltid kvadrerbara och man behöver inte oroa sig för något. 

Gällande nollmängd så är det bara ett abstraktare sätt att säga; saknar längd/area/volym -- eller i måttteoretiska termer: att deras mått är 0. Enskillda punkter är exempelvis nollmängder på tallinjen då de saknar längd. Släta kurvor är nollmängder i talplanet eftersom de saknar area. Tvådimensionella skivor är nollmängder i rummet eftersom de saknar volym, osv. 

Vi kanske bör göra en insats och påbörja en Wikipediaartikel om ämnet?

En artikel om Jordanmåttet och vad det innebär att vara Jordanmätbar finns ju redan, så det måtteoretiska perspektivet är ju redan täckt. Vad som saknas kanske bara är en förklaring med så lite måtteori som möjligt om vad begreppet kvadrerbar innebär.

AlvinB skrev:

Ebola skrev:

En icke-kvadrerbar mängd är exempelvis mängden {alla primtal}.

Stämmer detta verkligen? Primtalen (jag väljer att beteckna dem $\mathbb{P}$) har väl ändå $\mathbb{P}$ som rand eftersom de är slutna med tomt inre (det finns inga öppna delmängder, därför är det inre tomt), och eftersom primtalen $\mathbb{P}$ är uppräkneliga måste de vara en nollmängd. Detta resonemang tyder väl på att $\mathbb{P}$ visst är en kvadrerbar mängd?

Hm, ja, jag tänkte nog lite för snabbt där. Att komma på ett exempel på en enkel icke-kvadrerbar mängd är krångligare än jag föreställde mig då det egentligen kräver djupare kunskaper än introduktionskurser till matematisk analys gått igenom.

Jag har sett att när integrerbarhet för en funktion $f$ i ${\mathrm{ℝ}}^n$ ska definieras expanderas bara Riemann-konceptet till flera dimensioner. Jag har haft turen att slippa Böiers m. fl och bara sett definitioner av typen som kan ses här (under Riemannintegralen i ${\mathrm{ℝ}}^n$):

https://sv.wikipedia.org/wiki/Riemannintegral

Hej!

Det verkar vara tveksamheter kring vad som menas med begreppet kvadrerbar mängd. Ordet kan vara synonymt med begreppet mätbar mängd, vilket kopplar isär begreppet från mått. Associeras kvadrerbarhet däremot med nollmängder kopplas begreppet till mått. 

Låt $S$ vara en icke-tom mängd och $\mathcal{S}$ vara en sigma-algebra på $S$. En delmängd $M \subset S$ är mätbar med avseende på $\mathcal{S}$ om den är ett element i $\mathcal{S}.$

Så vitt jag kan se definieras begreppet kvadrerbar mängd som en mängd vars rand är en nollmängd, se exempelvis detta. På samma sida definieras nollmängd som en mängd $D$ som kan täckas av en följd rektanglar $\{\Delta_k\}_{k=1}^M$, d.v.s. $D\in\cup_{k=1}^M\Delta_k$ så att den sammanlagda arean, $\sum_{k=1}^M\mu\left(\Delta_k\right)$, blir godtyckligt liten.

Jag tycker inte det är några fel med denna definition i sig, men jag tycker det verkar som att man inte inom kursen har tillräckliga verktyg för att kunna tillämpa den på ett vettigt sätt. Till en början är det inte helt enkelt att ta reda på vad randen är för mer invecklade mängder. Att till exempel veta att randen (i den vanliga topologin) till $\mathbb{Q}$ är $\mathbb{R}$ eller att randen till $\mathbb{Z}$ är $\mathbb{Z}$ är inte helt enkelt att inse utan någorlunda ingående topologikunskaper, något som det verkar som om de flesta som läser kursen inte besitter. Att sedan visa att en mängd är en nollmängd eller inte är inte heller någon dans på rosor med definitionen ovan. Om man använder sig av exempelvis Lebesguemåttet finns ett antal egenskaper man kan utgå från, men med definitionen ovan får man konstruera ett ganska invecklat bevis från grunden även för enkla mängder.

Jag vet ju inte exakt vad som tas upp i kursen, så jag kan ha helt fel, men jag tycker att det är svårt att tillämpa denna definition utan att få använda sig av exempelvis Lebesguemåttet.

Det kan även vara nyttigt att få någon slags förståelse varför kvadrerbarhet just har med randen att göra. Om vi utgår från att definitionen av kvadrerbarhet bygger på integrerbarhet så betyder ju det enkelt sagt att en kvadrerbar mängd ska gå att approximera med rektanglar på ett bra sätt, och detta betyder att vi måste få samma resultat om vi går "inifrån och ut" för att täcka området (då får man inte med randens area) eller "utifrån och in" (då får man med randens area). Om randen då skulle ha en area som inte var noll skulle vi få olika resultat beroende på om vi går "inifrån och ut" eller "utifrån och in", och därmed skulle mängden inte gå att approximera med rektanglar på ett bra sätt och således inte vara kvadrerbar.

Det kan även vara värt att kika på denna tråd där vi diskuterade kvadrerbarhet:

https://www.pluggakuten.se/trad/analys-1-11/

Detta betyder att det i bakgrunden finns ett måttrum $(S,\mathcal{S},\mu)$ där måttet $\mu$ är sigma-ändligt(?) och ett motsvarande topologiskt rum $(S,\tau)$ där topologin $\tau$ är genererad av sigma-algebran $\mathcal{S}.$ 

Begreppet kvadrerbar så som ni väljer att diskutera det är inte nödvändigtvis kopplat till måttrummet $(\mathbb{R}^{n},\mathcal{B}^{n},\text{Leb}).$

Tackar för alla svar som väcker många tankar om dessa begrepp. Det verkar som att dessa begrepp är inte så enkla som deras definitioner i Persson och Böiers bok. Men jag tror att jag fick ändå en bättre förståelse för begreppen efter att ha läsa allas kommentarer. Tusen Tack!