Kvadrattkompleterring i tre variabler.

Hej, jag måste bestäma karaktären till följande kvadratisk form:

$Q (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} + x y + x z + y z$

Jag vill kvadratt kompletera för att bli av med kross termerna xy, xz och yz.

Ha kommit fram till följande men är lite osäker om jag ha gjort rätt och om jag kan dra rätt slutsats från min resultat.

****jag skrev fel i första kompleterring jag vill addera ${(\frac{3 y}{4})}^{2}$ **** Redigerat

$(x^{2} + x y + y^{2}) = {(x + \frac{y}{2})}^{2} - {(\frac{3 y}{4})}^{2} (z^{2} + x z + y z) = (z^{2} + z (x + y)) = {(z + \frac{(x + y)}{2})}^{2} - {(\frac{x + y}{2})}^{2} Q (x, y, z) = {(x + \frac{y}{2})}^{2} - {(\frac{3 y}{4})}^{2} + {(z + \frac{(x + y)}{2})}^{2} - {(\frac{x + y}{2})}^{2}$

Vi ser att vi ha båda positiva och negativa så att vi kan dra slutsatsen att Q är indefinite. Har jag gjort rätt här eller måste jag hantera korstermerna på ett annat sätt.

Tack på förhand

Njae, det där ser konstigt ut. Du vill ju samla alla dina x i första kvadraten. Du har både xy och xz termer.

Så första kvadraten blir på formen

(x+ay+bz)^2

med lämpliga värden på a och b så att korstermerna med xy och xz försvinner. Sen har du bara termer med y och z kvar. Då samlar du alla termer med y i en kvadrat och så vidare...

tack, behövde kolla upp lite mer om hur man kvadratkompletera och fick den till

$Q (x, y, z) = {(x + \frac{1}{2} y + \frac{1}{2} z)}^{2} + \frac{3}{4} {(y + \frac{1}{3} z)}^{2} + \frac{2}{3} z^{2}$

Svara