Kvadratkomplettering och ev faktorisering
Uppgiften är att kvadratkomplettera och och om möjligt faktorisera uttrycket (2b2-4b+34). Hur går det till?
Om jag istället t ex har uttrycket (a2+6a-27), då blir det lätt att skriva om det som (a+9)(a-3). Därmed har jag faktoriserat uttrycket. Men vad menas med kvadratkomplettering, och hur går det till i det första exemplet?
Att kvadratkomplettera t.ex x2+6x+9 är att skriva om det som (x+3)2
Okej, det har du rätt i, men hur gör jag med det givna exemplet (2b2-4b+34)?
(2b-17)(b-2)=4b2-4b-17b+34, dvs termen 17b ska bort! Någon kvadratkomplettering ser inte ut att vara möjlig, eller?
Andragradsuttryck kan generellt sett skrivas om på formen (ax-b)(cx-d) där b och d är rötterna till ekvationen. Hitta därmed rötterna först.
Henrik skrev:Någon kvadratkomplettering ser inte ut att vara möjlig, eller?
Jo, om du vill kvadratkomplettera uttrycket 2b2-4b+34 så kan du göra på följande sätt:
Börja med att bryta ut faktorn 2, du får då
2(b2-2b+17)
Nu kan du kvadratkomplettera uttrycket innanför parenteserna, dvs b2-2b+17, så hör:
Lägg till och dra ifrån kvadraten av halva koefficienten framför b-termen, dvs lägg till och dra ifrån 1:
b2-2b+1-1+17
Förenkla:
b2-2b+1+16
De tre första termerna kan nu, med hjälp av andra kvadreringsregeln, skrivas (b-1)2.
Uttrycket blir då
(b-1)2+16
Nu kommer vi ihåg att detta endast var uttrycket innanför parenteserna.
Ursprungsuttrycket kan alltså skrivas
2((b-1)2+16)
Eller, om vi vill, 2(b-1)2+32.
=========
Att kvadratkomplettera ger en rad fördelar, bl.a.
- Vi ser direkt att uttryckets minsta värde antas då b = 1 och att symmetrilinjen alltså är vid b = 1.
- Vi ser direkt att uttryckets minsta värde är 32.
- Vi behöver inte krångla med komplexa tal för att ta reda på ovanstående.
