Kvadratkomplettering med komplexa tal

Ska man göra det? Annars borde det går bra med pq-formeln.

Man ska göra det, men är det lättare med pq formeln?

Vad som är lätt eller inte är olika för olika personer.

Pq-formeln går ju att härleda från kvadratkomplettering, så de två metoderna hänger ihop.

Pröva gärna själv att lösa andragradsekvationer på de två olika sätten så kommer du nog snart fram till vilken metod du själv föredrar.

Svar på din första fråga: Du gör på samma sätt som om ekvationen hade haft reella koefficienter, dvs "se till att koefficienten framför z²-termen är 1, komplettera båda sidor med kvadraten av halva koefficienten framför z-termen, utnyttja kvadreringsregel 1 eller 2"

Ja, Yngve har rätt. Det går att använda båda metoderna. Det gäller att hålla reda på vad som händer med i när det kvadreras (i² = -1).

I det här fallet har vi ekvationen

$z^2-3iz-2=0$

Steg 1: "Se till att koefficienten framför $z^2$-termen är 1". Check, den var det redan från början.

Steg 2: "Komplettera båda sidor med kvadraten av halva koefficienten framför z-termen". Då får vi följande:

$z^2-3iz+(\frac{3i}{2})^2-2=(\frac{3i}{2})^2$

Steg 3: "Utnyttja kvadreringsregel 1 eller 2". Då får vi följande:

$(z-\frac{3i}{2})^2-2=(\frac{3i}{2})^2$

Nästa steg blir arr addera 2 till båda sidor:

$(z-\frac{3i}{2})^2=(\frac{3i}{2})^2+2$

Förenkla högerledet:

$(z-\frac{3i}{2})^2=-\frac{9}{4}+2$

Fortsätt att förenkla högerledet:

$(z-\frac{3i}{2})^2=-\frac{1}{4}$

Roten ur på bägge sidor, glöm inte $\pm$:

$z-\frac{3i}{2}=\pm\sqrt{-\frac{1}{4}}$

Förenkla högerleder:

$z-\frac{3i}{2}=\pm\frac{i}{2}$

Addera $\frac{3i}{2}$ till båda sidor:

$z=\frac{3i}{2}\pm\frac{i}{2}$

Vi får alltså

$z_1=i$

$z_2=2i$