Kvadratkomplettering

Man brukar ange symmetrilinjens ekvation som -p/2. Om du vet hur man använder sig utan pq- formeln så vet du vilken av talen som är p

DenDanne skrev :

Ska ange symmetrilinjen till ekvationen:

$x^2+2x+3$

När matteboken förklarar hur man ska göra denna typ av uppgift så säger de att man ska kvadratkomplettera. Men jag förstår inte riktigt hur de gör när de förklarar.

Vad ska man börja med?

Att kvadratkomplettera för att hitta symmetrilinjen är onödigt krångligt i detta fallet, men det går ju såklart.

Att kvadratkomplettera går ut på att hitta ett sätt att skriva andragradsuttrycket som en jämn kvadrat plus en konstant, där den obekanta storheten (x i detta fallet) endast finns med i det kvadratiska uttrycket.

Du ska alltså skriva $x^2+2x+3$ på formen  $(x+a)^2+b$, där du ska hitta lämpliga värden på a och b så att uttrycken blir lika.

Symmetrilinjen är då vid $x=-a$.

Börja då med det kvadratiska uttrycket. Konstanten a ska vara halva koefficienten framför x-termen, dvs 2/2=1, för då ger $(x+1)^2=x^2+2x+1$ rätt koefficienter till både $x^2$- och $x$-termen.

Men eftersom $(x+1)^2=x^2+2x+1$ bara ger konstanttermen 1 så "saknas det" 2 för att ge hela ursprungsuttrycket.

Därför gäller att kvadratkompletteringen av $x^2+2x+3$ är $(x+1)^2+2$.

Eftersom $a=1$ så är symmetrilinjen vid $x=-a=-1$.

EDIT - korrigerat slarvfel

Verifiera gärna själv att $(x+1)^2+2=x^2+2x+3$.

-----

Nör du väl har kvadratkompletterat uttrycket är det lätt att lösa ekvationen $x^2+2x+3=0$ eftersom det är samma sak som att lösa ekvationen

$(x+1)^2+2=0$

$(x+1)^2=-2$

$x+1=\pm \sqrt{-2}$

$x=-1\pm \sqrt{-2}$

Jämför gärna med resultatet du får av pq-formeln.

I själva verket är pq-formeln bara en "genväg" förbi kvadratkomplettering vid lösning av andragradsekvationer.

Bra förklarat, hänger med på allt men förstår inte riktigt varför symmetrilinjen blir $x=-a=-1$.

Symmetrilinjen är när parentesen får värdet 0. Det får den när x+1 = 0, d v s när x = -1.

DenDanne skrev :

Bra förklarat, hänger med på allt men förstår inte riktigt varför symmetrilinjen blir $x=-a=-1$.

Det kvadratiska uttrycket $(x+a)^2$ är symmetriskt kring $x=-a$. Alltså är uttrycket $(x+a)^2+b$ symmetriskt kring $x=-a$ 

Det kvadratiska uttrycket $(x+1)^2$ är symmetriskt kring $x=-1$. Alltså är uttrycket $(x+1)^2+2$ symmetriskt kring $x=-1$