Kvadratkomplettering

Hej och välkommen till Pluggakuten wady!

Vilka metoder har du använt och var kör du fast?

Rubriken säger kvadratkomplettering, har du försökt med det? Har du försökt med pq-formeln?

Det är just det jag har svårt med, ser att det är den metoden jag skall tillämpa men klarar inte att hantera den, är väldigt ny gällande sådan hög grad av matematik

Kvadratkomplettering bygger på att man utgår från ett andragradsuttryck och modifierar det så att det blir till en jämn kvadrat "plus lite rest".

Metoden är ett alternativ till pq-formeln för att lösa andragradsekvationer.

Exempel:

x^2 + 4x - 5 = 0

Vi vill nu skriva om vänsterledet så att det blir en jämn kvadrat, på formen (x + a)^2. 

Eftersom  (x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2 så ser vi att det är ganska likt uttrycket x^2 + 4x  om vi väljer a = 2.

Då är ju nämligen (x + a)^2 = (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4. Det är 4 mer än x^2 + 4x.

Om vi ersätter x^2 + 4x  med (x + 2)^2 så har vi alltså lagt till 4 för mycket. Detta kan vi kompensera genom att subtrahera 4 igen.

Eftersom x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4 så kan vi alltså skriva om vår ekvation

x^2 + 4x - 5 = 0

på följande sätt:

(x + 2)^2 - 4 - 5 = 0

(x + 2)^2 - 9 = 0

Nu har vi kvadratkompletterat vänsterledet och ekvationen blir väldigt lätt att lösa:

Addera 9 till båda sidor:

(x + 2)^2 - 9 + 9 = 0 + 9

Förenkla:

(x + 2)^2 = 9

Roten ur på bägge sidor:

x + 2 = plusminus 3

Subtrahera 2 från bägge sidor:

x = -2 plusminus 3

Allmänt kan sägas att om du vill kvadratkomplettera uttrycket x^2 + ax + b så kan du ersätta det med (x + a/2)^2 + b - (a/2)^2.

Hej Yngve!

Den så kallade P-Q-formeln härleds med hjälp av kvadratkomplettering. 

    $x^2 + px + q = (x+0.5p)^2 - (0.25p^2-q).$ 

Ekvationen $x^2 + px + q = 0$ är samma sak som ekvationen $(x+0.5p)^2 = 0.25p^2 - q.$

Fall 1. Om $0.25p^2-q$ är ett negativt tal så saknar ekvationen reella lösningar.

Fall 2. Om $0.25p^2 - q = 0$ så har ekvationen den enda lösningen

    $x= -0.5p.$

Fall 3. Om $0.25p^2 - q$ är ett positivt tal så har ekvationen två lösningar

    $x = -0.5p+\sqrt{0.25p^2-q}$

och

    $x=-0.5p-\sqrt{0.25p^2-q}.$

Albiki

Albiki skrev :

Hej Yngve!

...

Jag antar att du riktade detta inlägg till wady?

Yngve skrev :

Albiki skrev :

Hej Yngve!

...

Jag antar att du riktade detta inlägg till wady?

Yngve skrev :

Albiki skrev :

Hej Yngve!

...

Jag antar att du riktade detta inlägg till wady?

Hej Yngve!

Mitt inlägg var en respons till ditt påstående att kvadratkomplettering är en alternativ lösningsmetod till P-Q-formeln. 

Albiki

Albiki skrev :

Hej Yngve!

Mitt inlägg var en respons till ditt påstående att kvadratkomplettering är en alternativ lösningsmetod till P-Q-formeln. 

Albiki

Ja men det är det ju.

En alternativ lösningsmetod alltså.

 du har uttrycket $6x^2+5x-6=0$

och mycket riktigt ska vi börja med att få bort 6an från $x^2$ det får vi genom att dela hela ledet med 6 då får vi följande ekvation:

$x^2+\frac{5}{6}x-1=\hspace{0.17em}0$

formeln för kvadratkomplettering ser ut på följande vis

$x^2+2ax=(x+a{)}^2-a^2$ 

det som kan vara lite förvirrande är det står (2ax) vi har ju $\frac{5}{6}x$

så vi har alltså en dubbelt så stor ax som vi borde ha detta kan vi ordna genom att dela med två

$\frac{5}{6}x/2=\frac{5}{12}x$

för då om vi sätter a =  $\frac{5}{12}$ får vi en korrekt ekvation som går att lösa med kvadratkomplettering

vår ekvation ser nu ut såhär

$x^2+\frac{5}{12}x-1=\hspace{0.17em}0$

kan du nu lösa den med kvadratkomplettering som jag skrev lite längre upp?

magin99 skrev :

 du har uttrycket $6x^2+5x-6=0$

och mycket riktigt ska vi börja med att få bort 6an från $x^2$ det får vi genom att dela hela ledet med 6 då får vi följande ekvation:

$x^2+\frac{5}{6}x-1=\hspace{0.17em}0$

 

formeln för kvadratkomplettering ser ut på följande vis

$x^2+2ax=(x+a{)}^2-a^2$ 

det som kan vara lite förvirrande är det står (2ax) vi har ju $\frac{5}{6}x$

så vi har alltså en dubbelt så stor ax som vi borde ha detta kan vi ordna genom att dela med två

$\frac{5}{6}x/2=\frac{5}{12}x$

för då om vi sätter a =  $\frac{5}{12}$ får vi en korrekt ekvation som går att lösa med kvadratkomplettering

vår ekvation ser nu ut såhär

$x^2+\frac{5}{12}x-1=\hspace{0.17em}0$

kan du nu lösa den med kvadratkomplettering som jag skrev lite längre upp?

Nej nu blev det lite fel.

Ekvationen är fortfarande x^2 + (5/6)x - 1 = 0 och inte det sista du du skrev.