kvadratkomplettering

Med risk för att vara tjatig.. pq

$z=-\frac{2-i}{2} \pm \sqrt{\frac{(2-i{)}^2}{4} -3+i}$

som kan förenklas till

$z=-\frac{2-i}{2} \pm \frac{3}{2}$

sen får du jobba vidare

K.Ivanovitj skrev :

Hej

kan någon hjälpa mig att lösa följande ekvationer.

Det finns ett komplext tal som är rot både till andragradsekvationen $z^2+\left(2-i\right)z+3-i=0$

och tredjegradsekvationen $2z^3+3z^2+2z-2=0$

Lös båda ekvationerna.

Jag började med andragradsekvationen men har fastnat där.

Jag har ${\left(z+\frac{2-i}{2}\right)}^2-{\left(\frac{2-i}{2}\right)}^2+3-i=0$ som jag satte till $w^2-\left(\frac{4-4i+1}{4}\right)+3-i=0\Rightarrow w^2-\frac{5}{4}+3-2i\Rightarrow w^2+\frac{7}{4}-2i=0$

men tyvärr tror jag att det blev fel i kvadratkompletteringen för 7/4tror jag är fel.

$(2 - i{)}^2 = 2^2 - 2·2·i + i^2 = 4 - 4i - 1 = 3 - 4i$

Ja, $$(-i)^2 = -1$$ så du får 3/4 istället för 5/4. I slutänden 9/4 istället för 7/4. Men sen även $$i-i=0$$ istället för $$-2i$$

Jag tror att Ture har fel för en gångs skull, rötterna ska vara $z = -\frac{2 - i}{2}\pm \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{2}}\mathit{i}$

;-)

Ja.

ja jäklar, jag missade ett minustecken under roten. 1 poäng till Yngve!

Ture skrev :

ja jäklar, jag missade ett minustecken under roten. 1 poäng till Yngve!

1 lika då? De tar väl ut varann, så ingen av oss har gjort fel. Någonsin, eller hur?

Aldrig! Åtminstonde inte sen senast😏

okej så då har vi alltså $w^2-3-4i+3-i=w^2-5i$ men då försvinner ju realdelen.

K.Ivanovitj skrev :

okej så då har vi alltså w2-3-4i+3-i=w2-5i men då försvinner ju realdelen.

Nej w innehåller ju en realdel.

okej, w är ju från början $z+\frac{2-i}{2}$

Jag håller med Ture att pq är enklare här, men om du vill fortsätta med kvadratkomplettering:

z^2 + (2−i)z + 3 − i = 0

(z + (2-i)/2)^2 - (2-i)^2/4 + 3 - i = 0

(z + (2-i)/2)^2 - (4  - 4i - 1)/4 + 3 - i = 0

(z + (2-i)/2)^2 - (3 - 4i)/4 + 3 - i = 0

(z + (2-i)/2)^2 - 3/4 + i + 3 - i = 0

(z + (2-i)/2)^2 + 9/4 = 0

(z + (2-i)/2)^2 = - 9/4

z + (2-i)/2 = +/- 3i/2

z = -(2-i)/2 +/- 3i/2

z = (i - 2)/2 +/- 3i/2

z1 = (i - 2 + 3i)/2 = (4i - 2)/2 = -1 + 2i

z2 = (i - 2 - 3i)/2 = (-2 - 2i)/2 = -1 - i

Då är halva problrmet löst. Enligt uppgiften så är en av dessa rötter även en rot till tredjegradsekvationen.

Eftersom den ekvationen har reella koefficienter så utgörs dess komplexa rötter av ett komplexkonjugerat par.

Räcker det som ledtråd för att du ska komma vidare?

okej på tredjegradsekvationen, ska jag då sätta z=(a+bi) eftersom de två rötterna till andragradsekvationen är ju på formen a+bi

sen undrar jag om den imaginära delen, först hade vi 9/4 men när du tog roten ur blev det plötsligt 3i/2 där hängde jag inte riktigt med

K.Ivanovitj skrev :

okej på tredjegradsekvationen, ska jag då sätta z=(a+bi) eftersom de två rötterna till andragradsekvationen är ju på formen a+bi

sen undrar jag om den imaginära delen, först hade vi 9/4 men när du tog roten ur blev det plötsligt 3i/2 där hängde jag inte riktigt med

För att börja underifrån: Det skulle varit -9/4, när du drar roten ur det blir det 3i/2. 

På tredjegradaren föreslår jag att du provar vilken av de två rötterna från andragradaren som också är en rot till tredjegradaren. När du vet det är det lätt att bestämma en rot till om du utnyttjar Yngves info om kompexkonjugerade rötter.

okej missade minustecknet, roten ur -9 blir 3i

jag kollade och satte in båda rötterna i tredjegradsekvationen och -1-i stämde.

Andra och tredjegradsparentesen med båda termer negativa blev alltså

$$\begin{gathered} {\left(-1-i\right)}^3={\left(1+i\right)}^3 \\ {\left(-1-i\right)}^2={\left(1+i\right)}^2 \end{gathered}$$ då blev det lite enklare att räkna ut dom.

K.Ivanovitj skrev :

okej missade minustecknet, roten ur -9 blir 3i

jag kollade och satte in båda rötterna i tredjegradsekvationen och -1-i stämde.

Andra och tredjegradsparentesen med båda termer negativa blev alltså

$$\begin{gathered} {\left(-1-i\right)}^3={\left(1+i\right)}^3 \\ {\left(-1-i\right)}^2={\left(1+i\right)}^2 \end{gathered}$$ då blev det lite enklare att räkna ut dom.

Det andra påståendet (-1-i)^2 = (1+i)^2 går jag med på men absolut inte det första!!

(-1-i)^3 = -1*(1+i)*(-1-i)^2 = -(1+i)^3

om vi tar $-\left(1-i\right)\times {\left(-1-i\right)}^2$ och vi har ${\left(-1-i\right)}^2={\left(1+i\right)}^2$  och ${\left(1+i\right)}^2=\left(1+2i+i^2\right)=2i$ 

kan vi då få ${\left(-1-i\right)}^3=-1\times \left(1+i\right)\times 2i=2-2i$

Då stämmer det och jag får rest 0 när jag summerar ihop.

När jag ska räkna ut tredjegradsekvationen har jag då redan en rot -1-i och då får jag ju även -1+i och sätter dom till

$\left(z-\left(1-i\right)\right)\left(z-\left(i+i\right)\right)=z^2-\left(\left(1-i\right)+\left(1+i\right)\right)z+\left(1-i\right)\left(1+i\right)=z^2-2z+2$

Men när jag ska dela $\frac{2z^3+3z^2+2z-2}{z^2-2z+2}$ får jag inte fram svaret som ska bli 1/2

Du gör bort dig på tecknen.

En rot är -1-i

den andra roten är -1+i

då är (z-(-1-i)) och (z-(-1+i)) rötter och även produkten av dessa två som är

(z+1+i)(z+1-i) = z^2+2z+2 vilket är jämnt delbart i 2z^3+3z^2+2z-2

okej där fick jag ut z=1/2 som är den tredje roten.

Tack för hjälpen