19 svar
304 visningar
K.Ivanovitj 399 – Fd. Medlem
Postad: 16 maj 2017 20:30

kvadratkomplettering

Hej

kan någon hjälpa mig att lösa följande ekvationer.

Det finns ett komplext tal som är rot både till andragradsekvationen z2+2-iz+3-i=0

och tredjegradsekvationen 2z3+3z2+2z-2=0

Lös båda ekvationerna.

Jag började med andragradsekvationen men har fastnat där.

Jag har z+2-i22-2-i22+3-i=0 som jag satte till w2-4-4i+14+3-i=0w2-54+3-2iw2+74-2i=0

men tyvärr tror jag att det blev fel i kvadratkompletteringen för 7/4tror jag är fel.

Ture Online 10272 – Livehjälpare
Postad: 16 maj 2017 21:02 Redigerad: 16 maj 2017 21:02

Med risk för att vara tjatig.. pq

z=-2-i2 ±(2-i)24 -3+i

som kan förenklas till

z=-2-i2 ±32

sen får du jobba vidare

Yngve 40149 – Livehjälpare
Postad: 16 maj 2017 21:06
K.Ivanovitj skrev :

Hej

kan någon hjälpa mig att lösa följande ekvationer.

Det finns ett komplext tal som är rot både till andragradsekvationen z2+2-iz+3-i=0

och tredjegradsekvationen 2z3+3z2+2z-2=0

Lös båda ekvationerna.

Jag började med andragradsekvationen men har fastnat där.

Jag har z+2-i22-2-i22+3-i=0 som jag satte till w2-4-4i+14+3-i=0w2-54+3-2iw2+74-2i=0

men tyvärr tror jag att det blev fel i kvadratkompletteringen för 7/4tror jag är fel.

(2 - i)2 = 22 - 2·2·i + i2 = 4 - 4i - 1 = 3 - 4i

dioid 183
Postad: 16 maj 2017 21:16 Redigerad: 16 maj 2017 21:34

Ja, $$(-i)^2 = -1$$ så du får 3/4 istället för 5/4. I slutänden 9/4 istället för 7/4. Men sen även $$i-i=0$$ istället för $$-2i$$

Yngve 40149 – Livehjälpare
Postad: 16 maj 2017 21:39

Jag tror att Ture har fel för en gångs skull, rötterna ska vara z = -2 - i2±32i

;-)

dioid 183
Postad: 16 maj 2017 21:50

Ja.

Ture Online 10272 – Livehjälpare
Postad: 16 maj 2017 21:53

ja jäklar, jag missade ett minustecken under roten. 1 poäng till Yngve!

Yngve 40149 – Livehjälpare
Postad: 16 maj 2017 22:01
Ture skrev :

ja jäklar, jag missade ett minustecken under roten. 1 poäng till Yngve!

1 lika då? De tar väl ut varann, så ingen av oss har gjort fel. Någonsin, eller hur?

Ture Online 10272 – Livehjälpare
Postad: 16 maj 2017 22:06 Redigerad: 16 maj 2017 22:08

Aldrig! Åtminstonde inte sen senast😏

K.Ivanovitj 399 – Fd. Medlem
Postad: 16 maj 2017 23:10

okej så då har vi alltså w2-3-4i+3-i=w2-5i men då försvinner ju realdelen.

Yngve 40149 – Livehjälpare
Postad: 16 maj 2017 23:19 Redigerad: 16 maj 2017 23:20
K.Ivanovitj skrev :

okej så då har vi alltså w2-3-4i+3-i=w2-5i men då försvinner ju realdelen.

Nej w innehåller ju en realdel.

K.Ivanovitj 399 – Fd. Medlem
Postad: 16 maj 2017 23:49

okej, w är ju från början z+2-i2

Yngve 40149 – Livehjälpare
Postad: 17 maj 2017 07:47 Redigerad: 17 maj 2017 08:01

Jag håller med Ture att pq är enklare här, men om du vill fortsätta med kvadratkomplettering:

z^2 + (2−i)z + 3 − i = 0

(z + (2-i)/2)^2 - (2-i)^2/4 + 3 - i = 0

(z + (2-i)/2)^2 - (4  - 4i - 1)/4 + 3 - i = 0

(z + (2-i)/2)^2 - (3 - 4i)/4 + 3 - i = 0

(z + (2-i)/2)^2 - 3/4 + i + 3 - i = 0

(z + (2-i)/2)^2 + 9/4 = 0

(z + (2-i)/2)^2 = - 9/4

z + (2-i)/2 = +/- 3i/2

z = -(2-i)/2 +/- 3i/2

z = (i - 2)/2 +/- 3i/2

z1 = (i - 2 + 3i)/2 = (4i - 2)/2 = -1 + 2i

z2 = (i - 2 - 3i)/2 = (-2 - 2i)/2 = -1 - i

 

Då är halva problrmet löst. Enligt uppgiften så är en av dessa rötter även en rot till tredjegradsekvationen.

Eftersom den ekvationen har reella koefficienter så utgörs dess komplexa rötter av ett komplexkonjugerat par.

Räcker det som ledtråd för att du ska komma vidare?

K.Ivanovitj 399 – Fd. Medlem
Postad: 17 maj 2017 10:07 Redigerad: 17 maj 2017 10:10

okej på tredjegradsekvationen, ska jag då sätta z=(a+bi) eftersom de två rötterna till andragradsekvationen är ju på formen a+bi

sen undrar jag om den imaginära delen, först hade vi 9/4 men när du tog roten ur blev det plötsligt 3i/2 där hängde jag inte riktigt med

Ture Online 10272 – Livehjälpare
Postad: 17 maj 2017 10:27 Redigerad: 17 maj 2017 10:27
K.Ivanovitj skrev :

okej på tredjegradsekvationen, ska jag då sätta z=(a+bi) eftersom de två rötterna till andragradsekvationen är ju på formen a+bi

sen undrar jag om den imaginära delen, först hade vi 9/4 men när du tog roten ur blev det plötsligt 3i/2 där hängde jag inte riktigt med

För att börja underifrån: Det skulle varit -9/4, när du drar roten ur det blir det 3i/2. 

På tredjegradaren föreslår jag att du provar vilken av de två rötterna från andragradaren som också är en rot till tredjegradaren. När du vet det är det lätt att bestämma en rot till om du utnyttjar Yngves info om kompexkonjugerade rötter.

K.Ivanovitj 399 – Fd. Medlem
Postad: 17 maj 2017 11:19

okej missade minustecknet, roten ur -9 blir 3i

jag kollade och satte in båda rötterna i tredjegradsekvationen och -1-i stämde.

Andra och tredjegradsparentesen med båda termer negativa blev alltså

-1-i3=1+i3-1-i2=1+i2 då blev det lite enklare att räkna ut dom.

Ture Online 10272 – Livehjälpare
Postad: 17 maj 2017 11:34
K.Ivanovitj skrev :

okej missade minustecknet, roten ur -9 blir 3i

jag kollade och satte in båda rötterna i tredjegradsekvationen och -1-i stämde.

Andra och tredjegradsparentesen med båda termer negativa blev alltså

-1-i3=1+i3-1-i2=1+i2 då blev det lite enklare att räkna ut dom.

Det andra påståendet (-1-i)^2 = (1+i)^2 går jag med på men absolut inte det första!!

(-1-i)^3 = -1*(1+i)*(-1-i)^2 = -(1+i)^3

K.Ivanovitj 399 – Fd. Medlem
Postad: 17 maj 2017 11:47 Redigerad: 17 maj 2017 11:54

om vi tar -1-i×-1-i2 och vi har -1-i2=1+i2  och 1+i2=1+2i+i2=2i 

kan vi då få -1-i3=-1×1+i×2i=2-2i

Då stämmer det och jag får rest 0 när jag summerar ihop.

När jag ska räkna ut tredjegradsekvationen har jag då redan en rot -1-i och då får jag ju även -1+i och sätter dom till

z-1-iz-i+i=z2-1-i+1+iz+1-i1+i=z2-2z+2

Men när jag ska dela 2z3+3z2+2z-2z2-2z+2 får jag inte fram svaret som ska bli 1/2

Ture Online 10272 – Livehjälpare
Postad: 17 maj 2017 13:07

Du gör bort dig på tecknen.

En rot är -1-i

den andra roten är -1+i

då är (z-(-1-i)) och (z-(-1+i)) rötter och även produkten av dessa två som är

(z+1+i)(z+1-i) = z^2+2z+2 vilket är jämnt delbart i 2z^3+3z^2+2z-2

K.Ivanovitj 399 – Fd. Medlem
Postad: 17 maj 2017 13:23

okej där fick jag ut z=1/2 som är den tredje roten.

Tack för hjälpen

Svara
Close