Kvadratkomplettera i stokes sats. x^2+y^2=x+y+0.5

Jag fick ett riktigt bra tips från AlvinB i den här tråden, som jag gärna vill fortsätta att lära mig med. Då jag tycker det är mkt behagligare att jobba med 0:or i VL(HL) och tyckte hans sätt var väldigt bra.

Och nu ska jag försöka lära mig den här kvadratkompletteringen.

$x^2+y^2=x+y+\frac{1}{2} \Rightarrow x^2+y^2 - x -y -\frac{1}{2} =0$ Nu är ju ingen av dom här termerna var för sig, så då måste jag kvadratkomplettera $x$ för sig, och $y$ för sig.

"I en kvadratkomplettering $(x-k)^2$ är $k$ halva koefficienten för $x$ ." Citerat från andra tråden.

Så då ska jag ha $(\frac{x}{2})^2$ och $(\frac{y}{2})^2$ eftersom de är ensamma. Och så veklar vi ut den så får vi $\frac{x^2}{4},$ och $\frac{y^2}{4}$ . Så jag skulle ju säga att det blir

$(x-\frac{x^2}{4})+(y-\frac{y^2}{4})-\frac{1}{2}$ hmmm....

Då behöver vi ingenting mer? Eller? Vi behöver inte addera något? (försöker undvika att se på facit, det är väl mest för er just nu, hehe) Jo, vi måste väl addera något? för eftersom jag flyttade över alla termer så har vi ju 0 i VL (HL) Och det känns ju inte riktigt bra, så om jag flyttar över $\frac{-1}{2}$ ? :S

Du måste väl kolla om det stämmer också. x - x^2/4 + y - y^2/4 - 1/2 är inte samma sak som x^2 + y^2 - x - y - 1/2.

Det du citerar stämmer, men du gör inte så. Koefficienten för x är 1, så k blir 1/2, men det är (x-k)^2 som ingår i kvadratkompletteringen, inte (kx)^2 eller något sådant.

Kvadratkomplettering bygger på kvadreringsreglerna, som du förhoppningsvis kommer ihåg från Ma2. Om man har uttrycket $x^2+2ab+a^2$ så kan det skrivas som $(x+a)^2$ . Om man har uttrycket $x^2+2ax$ så kan man skriva det som $x^2+2ax+a^2-a^2$ , och sedan kan man skriva om det som $(x+a)^2-a^2$ - då har man kvadratkompletterat uttrycket.

Du har alltså ekvationen $x^2+y^2=x+y+\frac{1}{2}$ . Jag vet att du vill ha HL=0, så jag skriver om det till $x^2-x+y^2-y-\frac{1}{2}=0$ . För att $x^2-x+a$ skall kunna skrivas som $(x-b)^2$ måste $a$ ha värdet $\frac{1}{4}$ - då kan man skriva $x^2-x+\frac{1}{4}$ som $(x+\frac{1}{2})^2$ med hjälp av andra kvadreringsregeln baklänges - men eftersom vi har adderat $\frac{1}{4}$ måste addera $\frac{1}{4}$ på andra sidan om likhetstecknet också, så den nya ekvationen blir $(x-\frac{1}{2})^2+y^2-y-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ . Upprepar vi sammaresonemang med y-termerna får vi $(x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$ . Förenklar vi lite blir det $(x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2=1$

Själv tycker jag att det skulle vara enklare att ha konstanttermen i högerledet hela tiden, men det är en smaksak.

Smaragdalena skrev:
Kvadratkomplettering bygger på kvadreringsreglerna, som du förhoppningsvis kommer ihåg från Ma2. Om man har uttrycket $x^2+2ab+a^2$ så kan det skrivas som $(x+a)^2$ . Om man har uttrycket $x^2+2ax$ så kan man skriva det som $x^2+2ax+a^2-a^2$ , och sedan kan man skriva om det som $(x+a)^2-a^2$ - då har man kvadratkompletterat uttrycket.
Du har alltså ekvationen $x^2+y^2=x+y+\frac{1}{2}$ . Jag vet att du vill ha HL=0, så jag skriver om det till $x^2-x+y^2-y-\frac{1}{2}=0$ . För att $x^2-x+a$ skall kunna skrivas som $(x-b)^2$ måste $a$ ha värdet $\frac{1}{4}$ - då kan man skriva $x^2-x+\frac{1}{4}$ som $(x+\frac{1}{2})^2$ med hjälp av andra kvadreringsregeln baklänges - men eftersom vi har adderat $\frac{1}{4}$ måste addera $\frac{1}{4}$ på andra sidan om likhetstecknet också, så den nya ekvationen blir $(x-\frac{1}{2})^2+y^2-y-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ . Upprepar vi sammaresonemang med y-termerna får vi $(x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$ . Förenklar vi lite blir det $(x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2=1$
Själv tycker jag att det skulle vara enklare att ha konstanttermen i högerledet hela tiden, men det är en smaksak.

Tack! :D

Svara

Visa senaste svar