Kvadratkompletering och nollställen

Kika på följande uttryck:

${\left(-3\right)}^2, {\left(-5\right)}^2, {\left(-1\right)}^2, {\left(-12\right)}^2, 2^2, 0^2$

Vilka värden har de? Slutsatsen här är att funktionen $f\left(x\right)=x^2$ har minsta värde noll. Om du tittar på ditt kvadrerade uttryck, vilket minsta värde har det? Är dess minsta värde större än eller mindre än -15? Har p(x) något nollställe?

Angående fråga två: Nej, det är väl egentligen inte bättre, men PQ ses ibland som matematikens "snabbmat", dvs. inte lika snyggt som kvadratkomplettering. Det är därför bra att lära sig kvadratkomplettera, även om PQ ofta är mer lätthanterlig till vardags. :)

Fråga tre är en så pass stor fråga att den bör tas i en egen tråd. /Smutstvätt, moderator

1. Kvadraten i högerledet kan aldrig bli mindre än 0, alltså kan högerledet inte bli mindre än 15 - d v s det kan inte bli 0, så det finns inga nollställen.

2. Smaksak. Jag förederar pq-formeln, eftersom det är den jag har använt mest(varning för cirkelresonemang!). Hade jag lärt mig abc-formeln hade jag mog föredragit den. Det är lite elegantare med kvadratkomplettering - man tänker själv i stället för att stoppa in allting i en formel.

3. Om du använder pq-formeln så blir svaret t ex $x=5\pm\sqrt{blablaha}$. Då är maximi- eller minimivärdet när x = 5. Hur du ser på ekvationen om det är ett maximum eller minimum kommer du välihåg från Ma2?

EDIT: för att förtydliga vad jag egentligen menade på på punkt 3. Tack Yngve!

En kvadrat kan aldrig bli mindre än noll. Alltså kan det uttryck du fått fram aldrig bli mindre än 15. Funktionen kan däför inte bli 0. Minsta värde är därför 15.

Kvadratkompletteting eller pq, en smaksak. Jag fötedrar pq. 

Tack för svar. Jag förstår att kvadraten aldrig kan bli mindre än 0 då roten ur ett negativt tal inte är reellt, samt att minsta värdet då är 15. Men om vi kollar på funktionen${\left(x+1\right)}^2 - 8$ så finns nollställen. Jag fattar fortfarande inte riktigt skillnaden.  Borde inte minsta värde då vara -8?

Ointressant påpekande: det där 15 ska vara 15/4.

abcdefg skrev:

Tack för svar. Jag förstår att kvadraten aldrig kan bli mindre än 0 då roten ur ett negativt tal inte är reellt, samt att minsta värdet då är 15. Men om vi kollar på funktionen${\left(x+1\right)}^2 - 8$ så finns nollställen. Jag fattar fortfarande inte riktigt skillnaden.  Borde inte minsta värde då vara -8?

Mycket riktigt är minsta värde -8! Men funktionen är växande för alla x, eftersom $f(x)=(x+1)^2$ är växande. När en växande funktion har ett minsta värde mindre än noll, måste funktionen skära x-axeln, och har därmed nollställen! Detsamma gäller för funktioner som är avtagande för alla x, med maxvärden större än noll. :)

Smutstvätt skrev:

abcdefg skrev:

Tack för svar. Jag förstår att kvadraten aldrig kan bli mindre än 0 då roten ur ett negativt tal inte är reellt, samt att minsta värdet då är 15. Men om vi kollar på funktionen${\left(x+1\right)}^2 - 8$ så finns nollställen. Jag fattar fortfarande inte riktigt skillnaden.  Borde inte minsta värde då vara -8?

Mycket riktigt är minsta värde -8! Men funktionen är växande för alla x, eftersom $f(x)=(x+1)^2$ är växande. När en växande funktion har ett minsta värde mindre än noll, måste funktionen skära x-axeln, och har därmed nollställen! Detsamma gäller för funktioner som är avtagande för alla x, med maxvärden större än noll. :)

Tack! Nu blev det mycket tydligare.

Utmärkt, varsågod! :)

abcdefg skrev:

Tack för svar. Jag förstår att kvadraten aldrig kan bli mindre än 0 då roten ur ett negativt tal inte är reellt, samt att minsta värdet då är 15. Men om vi kollar på funktionen${\left(x+1\right)}^2 - 8$ så finns nollställen. Jag fattar fortfarande inte riktigt skillnaden.  Borde inte minsta värde då vara -8?

Kompletterar med ytterligare en metod som inte kräver resonemang och därför är "omöjlig" att glömma eller röra till: Använd dina redan inlärda kunskaper om ekvationslösning! 

-------------

Exempel 1:

Du letar efter nollställen, dvs lösningar till ekvationen $f(x)=0$, där $f(x)=(x-2)^2-9$. Det betyder att du ska lösa ekvationen:

$(x-2)^2-9=0$

Addera 9 till båda sidor:

$(x-2)^2=9$

Dra roten ur båda sidor:

$x-2=\pm\sqrt{9}$

Addera 2 till båda sidor:

$x=2\pm 3$

Alltså har $f(x)$ nollställen vid $x=-1$ och $x=5$

----------

Exempel 2:

Du letar efter nollställen, dvs lösningar till ekvationen $g(x)=0$, där $g(x)=(x-2)^2+9$. Det betyder att du ska lösa ekvationen:

$(x-2)^2+9=0$

Subtrahera 9 från båda sidor:

$(x-2)^2=-9$

Dra roten ur båda sidor:

$x-2=\pm\sqrt{-9}$

Denna ekvation saknar (reella) lösningar, alltså saknar $g(x)$ (reella) nollställen.

-----------

Grafisk representation: $f(x)$ är röd graf, $g(x)$ är blå graf.

Konstanten 2 i de kvadratkompletterade uttrycken beskriver hur långt till höger/vänster (dvs vid vilken x-koordinat) extrempunkten befinner sig.

Konstanterna -9/+9 i de kvadratkompletterade uttrycken beskriver hur långt upp/ner (dvs vid vilken y-koordinat) extrempunkten befinner sig. Vi ser att

• om denna konstant har ett värde < 0 så skär grafen x-axeln i två punkter och funktionen har då två separata (reella) nollställen.
• om denna konstant är lika med 0 så tangerar grafen x-axeln i en enda punkt och funktionen har då endast ett (reellt) nollställe. Ekvationen har en s.k. "dubbelrot".
• om denna konstant har ett värde > 0 så skär aldrig grafen x-axeln och funktionen saknar då (reella) nollställen.