Kvadratkompletering

“alldeles för lång tid tillbaka…”, samma här för den var besvärlig.

Jag skulle börja med att bryta ut –3:

–3(x^2+2x/3–1/3)

sedan tittar jag på koefficienten för x-termen som är 2/3. Hälften är 1/3, och hälften i kvadrat är 1/9. Nu lägger jag till och drar ifrån 1/9 innanför parentesen:

–3(x^2+2x/3+1/9 –1/9–1/3)

Därefter delar jag upp i två parenteser:

–3(x^2+2x/3+1/9)-3(–1/9–1/3)

Nu är den första parentesen en kvadrat (x+1/3)^2, kolla för säkerhets skull!

Sist hyfsar vi uttrycket:

–3(x + 1/3)^2 +3/9+1 = –3(x+1/3)^2 + 4/3.

Kanske vill vi ha en parentes runt hela uttrycket:

–3[(x + 1/3)^2 – 4/9]

Jag överlåter åt dig att kontrollera att det blev rätt. (OBS, redigerat!)

PS. Detta verkar bara som tråkig rutin, men det ser ut att finnas en poäng.

4/9 är kvadraten på 2/3. Så uttrycket vi fått är av typen –3(A^2 –B^2).

Vi kan använda konjugatregeln. Återkommer

Det blir –3[(x+1/3+2/3) (x+1/3 –2/3)] dvs –3 (x+1)(x–1/3)

Det nya uttrycket är noll för x = –1 och x = 1/3.

Vi har alltså löst ekvationen –3x^2 – 2x +1 = 0.

Toppen, uppskattar verkligen att du tog dig tiden. Tack! Återkommer ifall något är oklart fortfarande 

Mogens skrev:

PS. Detta verkar bara som tråkig rutin, men det ser ut att finnas en poäng.

4/9 är kvadraten på 2/3. Så uttrycket vi fått är av typen –3(A^2 –B^2).

Vi kan använda konjugatregeln. Återkommer

Detta sista steg, att använda ”omvända konjugatregeln” funkar alltid. När du kvadratkompletterar på detta sätt kommer du alltid få något på formen k((x+a)^2 +/- B^2), och om det är ett minustecken mellan (x+a)^2 och B^2 kan du använda konjugatregeln (men ”baklänges”) och landa i k(x+a+B)(x+a-B), är det plustecken blir det väl iB istället

Tack Hondel!

Det verkar såklart rimligt. Det är därför man kvadratkompletterar när man ska lösa andragradare. 
Ibland ser man inte skogen för träden :)