14 svar

127 visningar

Cristian0311 behöver inte mer hjälp

Kvadrater

Om a²+b²+c²=121, vad blir summan av a,b och c? (Förutsatt att a,b och c är olika heltal större än 1)

Hur löser man denna uppgift utan att testa sig fram? Jag har skrivit om det till en form av pythagoras sats, men har ingen aning om hur man fortsätter:

a²+b²=(11-c)(11+c)

Är det hela frågan? Det finns ingen mer information som du har missat?

Man kan prova sig fram, det tar nån minut.

Tänk på att det största kvadrattalet måste vara större än 40.

Laguna skrev:
Man kan prova sig fram, det tar nån minut.

Tänk på att det största kvadrattalet måste vara större än 40.

Javisst, men finns det en annan metod?

Om man betraktar talen modulo 4 så ser man att det måste vara två jämna och ett udda.

Lasse Vegas skrev:
Är det hela frågan? Det finns ingen mer information som du har missat?

Yes exakt så.

Laguna skrev:
Om man betraktar talen modulo 4 så ser man att det måste vara två jämna och ett udda.

Hur menar du då?

Heltal kan ge resterna 0, 1, 2 eller 3 när man delar med 4. Kvadrattal har den trevliga egenskapen att de bara kan ge resterna 0 eller 1.

Och du vet att det måste vara två jämna och ett udda eftersom 121 modulo 4 = 1 ?

Just det. Tre udda hade blivit 3 modulo 4.

Vad hjälper detta oss ta reda på a+b+c?

Hade metoden att testa sig fram på denna uppgift gett maxpoäng på prov tror du?

Det blir färre fall att testa.

Vad man får för poäng kan jag inte svara på.

Kanske dum fråga av mig, allt beror ju på läraren. Hur hade du gått tillväga steg för steg i denna uppgiften?

Om du vill ha med resonemang i den här uppgiften:

a, b och c måste vara mindre än 11 eftersom om c=11, så måste a=b=0 och det stämmer inte med villkoren i uppgiften. Det betyder att $2 \leq a, b, c \leq 10$ . Det begränsar antalet fall man måste undersöka.

Om $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 121$ , så

1) a, b och c är udda

2) a, b och c är två jämna och ett udda tal.

Testar 1):

$3^{2} + 5^{2} + 7^{2} = 9 + 25 + 49 = 83$ - för lite,

$3^{2} + 5^{2} + 9^{2} = 9 + 25 + 81 = 115$ - för lite,

$5^{2} + 7^{2} + 9^{2} = 25 + 49 + 81 = 155$ - för mycket.

Alltså, 2) gäller.

Antag att c är ett udda tal. Då måste c vara 3, 5, 7 eller 9.

$a^{2} + b^{2} = (11 - 3) (11 + 3) = 8 \cdot 14 = 112 a^{2} + b^{2} = (11 - 5) (11 + 5) = 6 \cdot 16 = 96 a^{2} + b^{2} = (11 - 7) (11 + 7) = 4 \cdot 18 = 72 a^{2} + b^{2} = (11 - 9) (11 + 9) = 2 \cdot 20 = 40$

Å andra sidan om a och b är jämna tal, så ${(2 m)}^{2} + {(2 n)}^{2} = 4 m^{2} + 4 n^{2} o c h m^{2} + n^{2} = \frac{a^{2} + b^{2}}{4}$

$m^{2} + n^{2} = 28 m^{2} + n^{2} = 24 m^{2} + n^{2} = 18 m^{2} + n^{2} = 10$

Den sista: $1^{2} + 3^{2} = 1 + 9 = 10$ och då: a=2, b=6 och c=9.

Näst sista:

$m^{2} = 18 - n^{2} n = 1 : m^{2} = 18 - 1^{2} = 17 - e t t p r i m t a l, p a s s a r i n t e, n = 2 : m^{2} = 18 - 2^{2} = 14 = 2 \cdot 7 - p a s s a r i n t e h e l l e r, n = 3 : m^{2} = 18 - 3^{2} = 9 = 3^{2} - p a s s a r i n t e, t a l e n s k a v a r a o l i k a, n = 4 : m^{2} = 18 - 4^{2} = 2 - e t t p r i m t a l, p a s s a r i n t e .$

Den andra uppifrån:

$m^{2} = 24 - n^{2} n = 1 : m^{2} = 24 - 1^{2} = 23 - e t t p r i m t a l, p a s s a r i n t e, n = 2 : m^{2} = 24 - 2^{2} = 20 = 4 \cdot 5 - p a s s a r i n t e, n = 3 : m^{2} = 24 - 3^{2} = 15 = 3 \cdot 5 - p a s s a r i n t e, n = 4 : m^{2} = 24 - 4^{2} = 8 = 2^{3} - p a s s a r i n t e .$

Den första:

$m^{2} = 28 - n^{2} : n = 1 : m^{2} = 28 - 1^{2} = 27 = 3^{3} - p a s s a r i n t e, n = 2 : m^{2} = 28 - 2^{2} = 24 = 2^{3} \cdot 3 - p a s s a r i n t e, n = 3 : m^{2} = 28 - 3^{2} = 19 - e t t p r i m t a l, p a s s a r i n t e, n = 4 : m^{2} = 28 - 4^{2} = 12 = 3 \cdot 4 - p a s s a r i n t e, n = 5 : m^{2} = 28 - 5^{2} = 3 - e t t p r i m t a l, p a s s a r i n t e .$

De tre sista styckena är en prövning och frågan är om man kan visa det på ett annat sätt.

$m^{2} + 2 m n + n^{2} = 28 + 2 m n {(m + n)}^{2} = 2 (14 + m n)$ eller

$m^{2} + 2 m n + n^{2} = 24 + 2 m n {(m + n)}^{2} = 2 (12 + m n)$

Den sista ekvationen betyder att kvadraten av ett tal, (m+n), är delbart med 2 och det är möjligt endast om kvadraten är delbart med 4 och mn är jämnt. Alltså (m+n) är delbart med 2 och minst ett av talen m och n är jämnt.

Då både och m och n är jämna. Eftersom 2 ≤ a, b, c ≤ 10, så 1 ≤ m, n ≤ 5 och då måste m=2 och n=4. Det ger a=4 och b=8.

$a^{2} + b^{2} + c^{2} = 121 4^{2} + 8^{2} + c^{2} = 121 16 + 84 + c^{2} = 121 100 + c^{2} = 121 c^{2} = 21 - o m ö j l i g t o m c ä r e t t h e l t a l .$

Resonemanget gäller för de två första ekvationerna.

$m^{2} + 2 m n + n^{2} = 18 + 2 m n {(m + n)}^{2} = 2 (9 + m n)$

Både m och n måste vara udda och 1 ≤ m, n ≤ 5. Då kan m och n vara 1 och 3, 1 och 5, 3 och 5, men det ger inte likheten.

Kanske ungefär så.

Jag tycker att det räcker med "2 ≤ a, b, c ≤ 10" och att två av talen måste vara jämna i 9:an. Sedan kan man skriva upp kvadrattalen 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. 100 kan man stryka - det är lätt att visa att det inte går ihop med 4 och 9 eller 9 och 16. Sedan testar man 81 = 9². 121-81=40 och det finns två jämna som ger 40 = 2² + 6². Sedan 121-64=57 och 121-49=72. Mer behöver man inte testa.

Jag har varit inne på det MaKe visar på slutet (räcker inte det?) och formaliserat den metoden ytterligare en aning, alltså för att finna de tre kvadraterna. Liksom MaKe ser man snabbt resultatet, men jag var intresserad av att beskriva själva metoden. Skriv kvadraterna 4, ..., 100 som en kolumn.

Pröva 100, fattas 21.
Första talet uppåt <21 är 16.
Fattas 5, som inte finns i listan.
Sedan är det bara 9 och 4 kvar.

Pröva 81, fattas 40.
Första talet uppåt <40 är 36, fattas 4 som finns överst. Klart.

Eller som ett flödesschema (som här förutsätter att det finns en lösning),
börja nedifrån med x=100.

Svara

Visa senaste svar