Kvadrat och Cirkel, Omkrets/Area
Hej, jag har försökt lösa en svårare fråga men har fastnat. Frågan lyder:
En kvadrat och en cirkel har samma omkrets. Har de även samma area?
a) Undersök vad som gäller om omkretsen är till exempel 8 cm.
b) Visa att resultatet i a) alltid gäller genom att kalla omkretsen för 4a.
Uppgift a) löses så här:
KVADRAT omkrets = 8 cm = 4(s) där s = en sida (cm). 8 = 4s. Dela med 4 på båda sidor och S = 2 cm. Kvadratens area = S2 alltså 22 = 4 cm2.
CIRKELN omkrets = 8 cm = Dπ = D(3.14) Dividerar man 8 med π får man ungefär 2.54647908947 = D i detta fall. För att beräkna arean måste dock D / 2 = 2.54647908947/2 = 1.27323954474 = r. Beräkna arean -> π1.273239544742 vilket är ungefär 5.1 cm2. Arean är alltså inte samma, cirkelns area är större.
Nu börjar det svåra. b) Kvadratens omkrets = 4a. För att beräkna arean ska 4a delas med 4. A ska sedan upphöjas till 2. A2 = Kvadratens area om 4a = omkretsen.
Cirkelns omkrets = 4a = Dπ. 4a/π = D (4a/π)/2 = R. ((4a/π)/2)2 ? Hur simplifierar man? Jag försökte att konvertera 2 till bråktal = 2/1 och dividera 4a/π med 2/1 alltså (4a/π)(1/2) men då blir det (4a/2π)2 som är = Arean. 16a2/4π2. Jag undrar om 16 kan delas med 4 och om exponenterna tar ut varandra. Alltså att arean för en cirkel med omkrets 4a = 4a/π. Då kvarstår frågan är 4a/π > A2 ? Om A t.ex = 4 cm (4 x 4 / π) är inte större än (4 x 4) . Då är det fel, cirkelns area ska alltid vara större än kvadratens. Vad är det jag missar?
Tacksam för svar!
"Cirkelns omkrets = 4a = Dπ. 4a/π = D (4a/π)/2 = R. ((4a/π)/2)2 ?"
Vi vet att R = 2a/π
Då är cirkelns area πR2 = π· (2a / π)2 = π· 4a2 / π2 = 4a2 / π
Glömde du kvadrera a ?
Kommer du vidare nu?
Tack för att du svarade! Jag förstår inte hur 4a/π = D blir till R = 2a/π. Borde inte pi också delas med 2? Varför divideras enbart täljaren med 2? Hur går det till? Om man till exempel har 4/1 och delar det med två, vänder man väl om det andra bråket och multiplicerar. Alltså 4/1 x 1/2 = 4/2?
Att dividera med två (2) är samma sak som att multiplicera med en halv ( ).
Det har du rätt i.
Vad händer om du multiplicerar med ?
Arktos skrev:Att dividera med två (2) är samma sak som att multiplicera med en halv ( ).
Det har du rätt i.Vad händer om du multiplicerar med ?
() = 4a/2π vilket kan simplifieras till 2a/π (!!!)
Fortsättning: Arean av en cirkel πr2 = π(2a/π)2 = π(4a2/π2) = = 4a2/π
Hurra!
Att dividera ett bråk med två är samma sak som att dividera täljaren med två.
Då gäller väl även detta:
Att dividera ett bråk med ett tal är samma sak som att dividera täljaren med talet.
Kan du visa det?
När man förenklar bråk gör man det ofta genom förkortning.
Då dividerar man täljare och nämnare med samma tal.
Det ändrar inte bråkets värde!
https://www.matteboken.se/lektioner/skolar-8/brak/multiplikation-och-division-av-brak
Arktos skrev:
Hurra!
Att dividera ett bråk med två är samma sak som att dividera täljaren med två.
Då gäller väl även detta:
Att dividera ett bråk med ett tal är samma sak som att dividera täljaren med talet.Kan du visa det?
När man förenklar bråk gör man det ofta genom förkortning.
Då dividerar man täljare och nämnare med samma tal.
Det ändrar inte bråkets värde!https://www.matteboken.se/lektioner/skolar-8/brak/multiplikation-och-division-av-brak
Ja! Tusen tack Arktos!
