Kuststräcka och hastighet

Som det beskrivs ser det ut så här. Du kan utgå från det:

Är du med på att funktionen för hastighet är derivatan av funktionen för läge?

Du tycks ha räknat ut hastigheten mätt vinkelrätt mot ljuskäglan.

Man ska nog räkna ut hastigheten med vilken ljuskäglan skär strandlinjen.
Strandlinjen är den blåa linjen HT-Borås ritat.

Om det är meningen att man skall räkna ut med vilken hastighet ljuskäglan skär strandlinjen, borde man ha skrivit det. Det står bara att det handlar om hur snabbt personen passeras av ljuskällan. Jag tolkade frågan ikadant som Blubliak gjorde (och därför svarade jag inte, eftersom jag fick fram samma svar). Men med tanke på att facit ger ett annat värde, så är det nog som Affe skrev. (Dessutom var Blubiaks och mitt svar alldeles för enkelt för att vara Ma5.)

Låt punkten $F$ vara fyren. Du får därmed en rätvinklig triangel $FAP$ med $\measuredangle AFP=\alpha$ radianer.

Förändringen i uttryckt i radianer ($d\alpha$) kan uttryckas som multiplikation av förändringen i tid ($dt$), antalet varv och antalet radianer i ett varv, d.v.s $\mathrm{d}\alpha =\mathrm{d}t·2\mathrm{\pi }·3\iff \mathrm{d}\alpha /\mathrm{d}t=6\mathrm{\pi }.$ 

Om du betecknar $FP=s$ så gäller det att $\cos \left(\alpha \right)=2/s\Rightarrow s=2/\cos \left(\alpha \right).$ Implicit derivation ger att

     $s\text{'}\left(t\right)=\frac{ds}{dt}=\frac{d\alpha }{dt}\frac{4\sin \left(\alpha \right)}{\cos \left(2\alpha \right)+1}=6\mathrm{\pi }\frac{4\sin \left(\alpha \right)}{1-2{\sin }^2\left(\alpha \right)+1}=6\mathrm{\pi }\frac{4\sin \left(\alpha \right)}{2\left(1-{\sin }^2\left(\alpha \right)\right)}=\frac{12\mathrm{\pi sin}\left(\alpha \right)}{1-{\sin }^2\left(\alpha \right)}.$

Du vet att $\sin \left(\alpha \right)=4/\sqrt{20}=2/\sqrt{5}.$ Det ger att

     $\frac{ds}{dt}=\frac{12\mathrm{\pi }\left({\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}\right)}{1-{\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}^2}=24\mathrm{\pi }\sqrt{5}.$ 

Vilket låter väldigt mycket jämfört med facits svar. Är du säker på att du tittat rätt?

Lirim.K skrev :

Låt punkten $F$ vara fyren. Du får därmed en rätvinklig triangel $FAP$ med $\measuredangle AFP=\alpha$ radianer.

Förändringen i uttryckt i radianer ($d\alpha$) kan uttryckas som multiplikation av förändringen i tid ($dt$), antalet varv och antalet radianer i ett varv, d.v.s $\mathrm{d}\alpha =\mathrm{d}t·2\mathrm{\pi }·3\iff \mathrm{d}\alpha /\mathrm{d}t=6\mathrm{\pi }.$ 

Om du betecknar $FP=s$ så gäller det att $\cos \left(\alpha \right)=2/s\Rightarrow s=2/\cos \left(\alpha \right).$ Implicit derivation ger att

     $s\text{'}\left(t\right)=\frac{ds}{dt}=\frac{d\alpha }{dt}\frac{4\sin \left(\alpha \right)}{\cos \left(2\alpha \right)+1}=6\mathrm{\pi }\frac{4\sin \left(\alpha \right)}{1-2{\sin }^2\left(\alpha \right)+1}=6\mathrm{\pi }\frac{4\sin \left(\alpha \right)}{2\left(1-{\sin }^2\left(\alpha \right)\right)}=\frac{12\mathrm{\pi sin}\left(\alpha \right)}{1-{\sin }^2\left(\alpha \right)}.$

Du vet att $\sin \left(\alpha \right)=4/\sqrt{20}=2/\sqrt{5}.$ Det ger att

     $\frac{ds}{dt}=\frac{12\mathrm{\pi }\left({\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}\right)}{1-{\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}^2}=24\mathrm{\pi }\sqrt{5}.$ 

Vilket låter väldigt mycket jämfört med facits svar. Är du säker på att du tittat rätt?

Det är sent och jag är trött, så jag kanske tänker helt fel, men Lirim.K, är du säker på att du räknar rätt här?

När du sätter FP = s så blir ju s sträckan från fyren till stranden, och hastigheten du beräknar blir väl hastigheten med vilken skärningspunkten mellan ljuskäglan och stranden avlägsnar sig från fyren, vilket är en annan hastighet än den som efterfrågas?

Jag gjorde en snabb genomräkning och om man i stället sätter AP = s, och därmed får s/2 = tan(alfa) och sedan räknar vidare som du gör så får man samma svar som i facit.

Nej, jag var inte ett dugg säker men jag var säker på att man på något sätt behöver uttrycka vinkeln som en funktion av tiden till att börja med. 

Varför antar du att AP = s, när du får det givet att AP = 4? Missar jag ngt här? Följer man dina beteckningar så får man att

     $s\text{'}=\frac{2}{{\cos }^2\left(\alpha \right)}\frac{d\alpha }{dt}=\frac{12\mathrm{\pi }}{{\cos }^2\left(\alpha \right)}.$

Eftersom $s=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ så får man att

     $s\text{'}=\frac{12\mathrm{\pi }}{{\left({\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}\right)}^2}=\frac{12\mathrm{\pi }}{{\displaystyle \frac{4}{5}}}=\frac{60\mathrm{\pi }}{4}=15\mathrm{\pi }$.

Vilket också är > facits svar. Kan va så att jag räknar fel nu i brist på koffein.

Jag skrev lite snabbt. AP är givetvis konstant = 4. På samma sätt som FP är konstant = sqrt20. 

Men man kan beteckna skärningspunkten mellan kusten och ljuskällan P'

Med det sättet att skriva sätter du FP'=s och jag AP' = s

Lirim.K skrev :

Nej, jag var inte ett dugg säker men jag var säker på att man på något sätt behöver uttrycka vinkeln som en funktion av tiden till att börja med. 

Varför antar du att AP = s, när du får det givet att AP = 4? Missar jag ngt här? Följer man dina beteckningar så får man att

     $s\text{'}=\frac{2}{{\cos }^2\left(\alpha \right)}\frac{d\alpha }{dt}=\frac{12\mathrm{\pi }}{{\cos }^2\left(\alpha \right)}.$

Eftersom $s=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ så får man att

     $s\text{'}=\frac{12\mathrm{\pi }}{{\left({\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}\right)}^2}=\frac{12\mathrm{\pi }}{{\displaystyle \frac{4}{5}}}=\frac{60\mathrm{\pi }}{4}=15\mathrm{\pi }$.

Vilket också är > facits svar. Kan va så att jag räknar fel nu i brist på koffein.

Här finns några aritmetiska fel.

Vinkelhastigheten är pi/10.  (3 varv på en minut => 3*2pi/60)

cos(alfa) = 2/(2*sqrt(5)) = 1/sqrt(5) vars kvadrat blir 1/5.

Således:

$s\text{'} = \frac{2\times \pi }{10\times \left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)} = \pi$