kurvor

Vad ställer frågan för krav på f’(x)?

PATENTERAMERA skrev:

Vad ställer frågan för krav på f’(x)?

$f\text{'}\left(x\right)=/ 0$

och f''(x) =/ 0 

dvs att den alltid växer / får mindre värde. Är det rätt?

pepsi1968 skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Vad ställer frågan för krav på f’(x)?

$f\text{'}\left(x\right)=/ 0$

och f''(x) =/ 0 

dvs att den alltid växer / får mindre värde. Är det rätt?

Jag antar att du menar 

f’(x) $\ne$ 0 (för alla x). Det är korrekt.

Eftersom f(x) skall vara en tredjegradsfunktion så är f’(x) en andragradsfunktion.

Går det att skapa/välja en andragradsfunktion som inte har några nollställen?

Har ni kommit till integraler än? Enligt matteboken.se ska de komma i Matte 3.

PATENTERAMERA skrev:

pepsi1968 skrev:

Visa föregående citat

PATENTERAMERA skrev:

Vad ställer frågan för krav på f’(x)?

$f\text{'}\left(x\right)=/ 0$

och f''(x) =/ 0 

dvs att den alltid växer / får mindre värde. Är det rätt?

Jag antar att du menar 

f’(x) $\ne$ 0 (för alla x). Det är korrekt.

Eftersom f(x) skall vara en tredjegradsfunktion så är f’(x) en andragradsfunktion.

Går det att skapa/välja en andragradsfunktion som inte har några nollställen?

Ahaaaa, jorå det är väl bara att skapa icke reela rötter. om man utgår fårn $$\begin{gathered} f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d \\ f\text{'}\left(x\right) =3a{x}^2+2bx+c \\ 3a{x}^2+2bx+c=0 \\ {x}^2+\frac{2bx}{3a}+\frac{c}{3a}=0 \\ {x}_{1,2}=\frac{2b}{6a}\pm \sqrt{\frac{4b^2}{36a^2}-\frac{c}{3a}} \\ \sqrt{\frac{4b^2}{36a^2}-\frac{c}{3a}}\le 0 \\ \frac{c}{3a}\ge \frac{4b^2}{36a^2} \\ c\ge \frac{b^2}{3a^2} Kan man nu välja ut värde på b och a så att det gäller? \end{gathered}$$

Laguna skrev:

Har ni kommit till integraler än? Enligt matteboken.se ska de komma i Matte 3.

Japp, jag har repetition på 3c inför kursprov så jag antar att allt ska kunnas här =) 

pepsi1968 skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Vad ställer frågan för krav på f’(x)?

$f\text{'}\left(x\right)=/ 0$

och f''(x) =/ 0 

dvs att den alltid växer / får mindre värde. Är det rätt?

Det stämmer att förstaderivatan f'(x) måste vara skild från 0 för alla x.

Däremot stämmer det inte att andraderivatan f''(x) måste vara skild från 0 för alla x.

I själva verket gäller att f''(x) alltid har exakt ett nollställe, oavsett hur f(x) ser ut (givet att f(x) är en tredjegradsfunktion och att definitionsmängden är alla reella tal). En bra sidoövning är att visa det.

pepsi1968 skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Visa föregående citat

pepsi1968 skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Vad ställer frågan för krav på f’(x)?

$f\text{'}\left(x\right)=/ 0$

och f''(x) =/ 0 

dvs att den alltid växer / får mindre värde. Är det rätt?

Jag antar att du menar 

f’(x) $\ne$ 0 (för alla x). Det är korrekt.

Eftersom f(x) skall vara en tredjegradsfunktion så är f’(x) en andragradsfunktion.

Går det att skapa/välja en andragradsfunktion som inte har några nollställen?

Ahaaaa, jorå det är väl bara att skapa icke reela rötter. om man utgår fårn $$\begin{gathered} f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d \\ f\text{'}\left(x\right) =3a{x}^2+2bx+c \\ 3a{x}^2+2bx+c=0 \\ {x}^2+\frac{2bx}{3a}+\frac{c}{3a}=0 \\ {x}_{1,2}=\frac{2b}{6a}\pm \sqrt{\frac{4b^2}{36a^2}-\frac{c}{3a}} \\ \sqrt{\frac{4b^2}{36a^2}-\frac{c}{3a}}\le 0 \\ \frac{c}{3a}\ge \frac{4b^2}{36a^2} \\ c\ge \frac{b^2}{3a^2} Kan man nu välja ut värde på b och a så att det gäller? \end{gathered}$$

Nja, kontrollera vad du skrivit. Du skriver $\sqrt{\frac{4b^2}{36a^2}-\frac{c}{3a}}\le 0$ 

är det verkligen det du menar? Eller menar du det som står under rottecknet?

Dessutom borde det inte vara $\le$. Vad händer om det är = då skulle du ju kunna ha b=c=0 och få f(x)=ax^3+d vilket inte uppfyller kraven.

Den enklaste funktionen är väl x^3+x så det kan du jämföra med.

pepsi1968 skrev:

Ahaaaa, jorå det är väl bara att skapa icke reela rötter. om man utgår fårn $$\begin{gathered} f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d \\ f\text{'}\left(x\right) =3a{x}^2+2bx+c \\ 3a{x}^2+2bx+c=0 \\ {x}^2+\frac{2bx}{3a}+\frac{c}{3a}=0 \\ {x}_{1,2}=\frac{2b}{6a}\pm \sqrt{\frac{4b^2}{36a^2}-\frac{c}{3a}} \\ \sqrt{\frac{4b^2}{36a^2}-\frac{c}{3a}}\le 0 \\ \frac{c}{3a}\ge \frac{4b^2}{36a^2} \\ c\ge \frac{b^2}{3a^2} Kan man nu välja ut värde på b och a så att det gäller? \end{gathered}$$

Du tänker rätt men det blev några fel på vägen.

1. pq-formeln. Du missade ett minustecken på -p/2, det ska vara $x_{1,2}=-\frac{2b}{6a}\pm\sqrt{\frac{4b^2}{36a^2}-\frac{c}{3a}}$. Detta ger ingen skillnad på resultatet, men är ändå värt att notera.

2. Analysen. För att rötterna ska vara icke-reella krävs att diskriminanten är mindre än 0, dvs $\frac{4b^2}{36a^2}-\frac{c}{3a}<0$.

3. Förenklingen. Om du multiplicerar olikheten med $a$ så måste du hantera fallen $a>0$ och $a<0$ separat. Bättre då att undvika denna multiplikation och istället först förenkla första termen, göra liknämnigt och sedan hantera olikheten direkt, vilket ger $\frac{b^2}{9a^2}-\frac{3ac}{9a^2}<0$, dvs $b^2-3ac<0$, dvs $b^2<3ac$.

Ifrån det villkoret (och det självklara (?) $a\neq0$) så kan du välja a, b och c fritt.